这个系统只有一个自由度。 绳索的长度由它已经盘绕的角度 phi 决定。

中心差分法是一种数值微分的方法，它是通过在每个点处求出函数的近似导数来计算函数的导数的。它的基本原理是，在每个点处，用函数值的差值来近似求出函数的导数。 具体来说，中心差分法的基本原理是，在每个点处，用函数值的差值来近似求出函数的导数。具体来说，在每个点处，可以用函数值的差值来近似求出函数的导数，即： f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h)) / 2h 其中，h是一个很小的正数，用来表示函数值的差值。 由于中心差分法是一种显示算法，它的优点是简单易行，可以用来计算函数的导数，而且可以用来计算复杂函数的导数。但是，由于它是一种近似计算的方法，所以它的结果可能不太准确，而且它的计算速度也比较慢。 这里给出求解多自由度运动方程的中心差分法示例。并对结果进行绘图展示。

考虑液相的动力粘度、表面张力和溶剂的蒸气压对空化泡运动特性的影响，建立了超声作用于均相液体中空化泡运动的动力学模型，并用MATLAB工具对建立的普遍化的模型方程进行了数值求解和过程模拟。探讨了超声在水介质中传播时超声的频率、功率和空化泡的初始平衡半径对空化泡运动规律的影响以及声压幅值和液相主体温度对空化泡崩溃时的泡内温度和压力的影响，为超声的空化效应在化工过程中的研究和应用提供了基础理论依据。

本教程包含清晰编写的代码，这些代码使用 Matlab 符号工具箱，使用朗朗日方程为各种简单机械系统生成运动方程。 简单系统是单摆和简谐振子。 包括更多具有 2-3 个自由度的系统，如双摆和两个版本的推车杆系统。 最复杂的推导是找到 n-link 摆的方程。

单自由度系统对初始条件和简谐激励相应 由单自由度的运动方程和初始条件得到二阶非齐次常微分方程，它的解有对应的齐次方程的通解和非齐次方程的特接构成。

2．电机的基本运动方程 式中 T—电机转矩, 单位为[Nm]； Tf—负载转矩，单位为[Nm]； J—电机转子及负载的转动惯量，单位为[Kgm∧2]； Θ—电机位置，单位为[rad] 电机的基本运动方程指出电机转矩、转速之间的关系。 在负载一定条件下，只有改变电机转矩才能改变电机转速。 当电机转矩大于负载转矩时，电机产生加速运动； 当电机转矩小于负载转矩时，电机产生减速运动； 当电机转矩等于负载转矩时，电机恒速运动。 电机及负载转动惯量是影响速度变化的另一主要因素

该函数计算任何一组运动方程并生成系统的状态空间矩阵。 方程必须在一个结构中，其中每个方程都是结构中的一个新符号条目。 状态、状态的导数和输入必须是元胞数组。 方程必须定义为符号语句（参见语法示例）。 然而，参数可以是符号的或数字的。 如果是数字，它们仍必须列在字符字符串中，但求解器会将最终矩阵从符号转换为实数。 由于许多系统不容易解耦或解耦的系统方程非常大且难以评估，因此该函数使用质量、刚度、输入方法，其中： M*x_dot = K*x + I *u 转换为更常见的x_dot = A*x + B*u，预先除以M：A = M\K，B = M\I。 如果方程中的参数是符号参数，则只返回 M、K 和 I。 对于数值解的情况，还返回 A 和 B。 对于较小的系统（1 到 10 个左右的状态），如果需要，用户通常可以计算符号 A 和 B。 对于较大的系统，符号 A 和 B 矩阵通常是不可能的。

该系统具有 3 个广义坐标：弹簧的位移、（弹簧）摆的偏转角和支架的平移。 因此，它由 3x 二阶非线性常微分方程描述，而 matlab 必须解决 6x 线性一阶常微分方程。 由于方程式相当复杂，因此在本说明中不再赘述。 .zip包含动画的.mp4文件。

描述卫星相对运动的非线性Hill方程分析解

拉格朗日是计算运动方程的函数（拉格朗日方程） d/dt(dL/d(dq))-dL/dq=0。 它使用拉格朗日函数，该函数总结了系统的动力学。 需要符号数学工具箱。