三种不同的DFT程序计算 利用DFT实现两序列的卷积运算，并研究DFT点数与混叠的关系

matlab离散傅里叶变换平滑代码Matlab_2D_DFT_Image_Filtering Matlab中输入图像f（x，y）的离散傅立叶变换F（u，v）实现。 在这个项目中，我们被要求对大小为M N的输入图像f（x，y）进行离散傅里叶变换F（u，v），然后将理想的低通滤波器H（u，v）应用于平滑图像。 首先，我们需要对原始图像进行零填充以生成大小为P Q的新图像，其中P = 2M-1和Q = 2N-1，然后将原始图像乘以（-1）^（x + y），以便F（u，v）的低频位于我们域的中心。 该存储库包括项目的源代码（Matlab）。

一维有限长序列的离散傅里叶变换是周期序列的离散傅里叶级数的主值区间上的幅值

2、实数序列的FFT 以上讨论的FFT算法都是复数运算,包括序列x(n)也认为是复数,但大多数场合,信号是实数序列,任何实数都可看成虚部为零的复数,例如,求某实信号x(n)的复谱,可认为是将实信号加上数值为零的虚部变成复信号(x(n)+j0),再用FFT求其离散傅里叶变换。这种作法很不经济,因为把实序列变成复序列,存储器要增加一倍,且计算机运行时,即使虚部为零,也要进行涉及虚部的运算,浪费了运算量。合理的解决方法是利用复数据FFT对实数据进行有效计算,下面介绍两种方法。  （1）用 一个N点FFT同时计算两个N点实序列的DFT 设x (n)、y (n)是彼此独立的两个N点实序列,且 X (k)=DFT[x (n)] ， Y (k)=DFT[y(n)] 则X (k)、Y(k)可通过一次FFT运算同时获得。 首先将x (n)、y(n)分别当作一复序列的实部及虚部,令 g(n)=x (n)+jy(n)

快速傅立叶算法，采用时域抽取法FFT(Decimation-In-Time FFT, 简称 DIT - FFT)，完全采用标准C++语言编写，算法上采用了蝶形运算原理，数据结构采用 STL 模板库存储动态数组，采用 complex 类处理复数运算。代码简单，容易理解，只有输入，输出的vector 数组。总共 90 多行代码。不同于一般的 FFT 算法，本算法没有对输入序列作任何条件限制，可以是任意长度。调试中经测试，对一个2^19=52万左右个数据点的输入数组，算法在5秒时间可给出结果，输出结果是所有频率值的模值，而不是单独的实部与虚部（当然也可以单独给出实部虚部计算其相位）。

对信号f（t）离散傅里叶变换（DFT）和频谱分析

比opencv自带的fft变换快10倍左右

前置知识 以下内容参考《复变函数与积分变换》，如果对积分变换有所了解，完全可以跳过忽略 复数的三角表达式如下 Z=r(cosθ+isinθ) Z=r(cos\theta+isin\theta) Z=r(cosθ+isinθ) 欧拉公式如下 eiθ=cosθ+isinθ e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta eiθ=cosθ+isinθ 所以，两式连立，我们可以得到复数的指数表达式 Z=reiθ Z=re^{i\theta} Z=reiθ 复球面如下图，除了N点以外，任意一个复数都与复球面上的点一一对应。 对于任意复数z的乘幂有下列公式成立 Zn=rneinθ

图片的处理，使用蝶式算法实现快速离散傅里叶变换，使用NetBeans编写。

基于contourlet和dft（离散傅里叶变换）的图像水印.rar