二维CFT具有在应力张量基础上建立的无限组换向守恒电荷，称为量子KdV电荷。 我们在圆上计算这些KdV电荷的热相关函数。 我们表明，这些相关函数是由作用于环划分函数的准模微分算子给出的。 我们确定它们的模数变换性质，在许多情况下给出明确的表达式，并给出一个任意相关函数的表达式，该函数取决于中心电荷的有限数量的函数。 我们证明了这些模块化微分算子消除了非2最小模型的（2m +1，2）系列的特征。 我们还表明，KdV电荷的分布在较大水平上急剧达到峰值。

我们构造了经过修改的KdV方程的多分量概括的层次结构，并找到与其关联成员的精确解。 层次结构及其守恒律的构造基于Drinfel'd-Sokolov方案，但是，在我们的情况下，Lax运算符包含基础李代数的恒定非规则元素。 我们还使用Lax运算符的对称结构导出层次结构的关联递归运算符。 最后，使用合理的修整方法，我们获得了单孤子解，并根据行列式找到了总秩的单呼吸解。

我们为AdS3上的广义相对论提出了一组新的边界条件，其中边界自由度的动力学由可积方程的Gardner层次结构的两个独立的左右成员描述，也称为“混合KdV-mKdV” 层次结构。 该可集成系统具有非常特殊的属性，可将Korteweg-de Vries（KdV）和改进的Korteweg-de Vries（mKdV）层次结构同时组合在一个可集成结构中。 三维时空引力和二维可积系统之间的这种关系是基于最近在AdS3上引入的“软毛边界条件”的扩展的，现在允许化学势局部取决于动力场及其空间 衍生品。 Gardner系统的完整可积结构，即相空间，泊松括号和无限数量的可交换守恒电荷，是直接从渐近分析和重力理论中的守恒表面积分中直接获得的。 这些边界条件具有特殊的性质，它们也可以解释为在具有事件视界的时空的近视界区域中定义。 然后，黑洞解决方案自然地容纳在我们的边界条件内，并由与Gardner层次结构的相应成员相关联的静态配置来描述。 还讨论了由我们的边界条件定义的集合中黑洞的热力学性质。 最后，我们证明了我们的结果可以自然地扩展到宇宙常数消失的情况，并且可积系统与AdS3情况完全相同。

借助计算符号系统Maple, 利用tanh、sinh和cosh各种形式的代数方法求解RLW-KdV方程, 获得了RLW-KdV方程的多组精确解, 从而丰富了RLW-KdV方程的解的内容.

KdV-mKdV方程是发现最早且最具代表性的非线性发展方程,在数学、物理、工程等领域,都有十分重要的应用前景.近些年来,对它的精确解的求解问题的研究不断增多.采用双曲正切函数展开法和推广的tanh法,对KdV-mKdV方程构造并分别求解,得到一些新的精确解.这种方法也可进一步推广用于求解其他非线性偏微分方程.另外,精确解的获得可为近似计算、定理分析等现实问题提供基础.

非线性KdV方程的高精度紧致差分格式的MATLAB程序

该代码是对 [1] 的补充，并且是使用平均向量场 (AVF) 离散时间梯度和空间有限元的 Korteweg-de Vries 方程的移动网格能量保持求解器的实现。 [1] Eidnes，Sølve，Brynjulf Owren和​​TorbjørnRingholm。 “偏微分方程的自适应能量保持方法。” 计算数学进展（2017）：1-25。