无约束最优化的直接法 坐标轮换法 模式搜索法 旋转方向法

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8.1 坐标轮换法 基本思想： 每次以一个变量的坐标轴方向作为搜索方向，将 n 维的优化问题转化为一维的搜索问 题。 考虑无约束最优化问题 )(min xf ，其中， n Rx ， RRf n : 第一步：给定 n Rx  0 ，从点 0 x 出发，沿着第一个坐标轴方向 T e )0,,0,1( 1  进行一维搜 索，求 0  和 1 x ，使得 )(min)( 10100 exfexf    ， 1001 exx  第二步：从点 1 x 出发，沿着第二个坐标轴方向 T e )0,,0,1,0( 2  进行一维搜索，求 1 和 2x ， 使得 )(min)( 21211 exfexf    ， 2112 exx  重复上述步骤…… 最后从从点 1n x 出发，沿着第 n 个坐标轴方向 T n e )1,,0,0(  进行一维搜索，求 1n  和 n x ， 使得 )(min)( 111 nnnnn exfexf     ， nnnn exx 11    从上述过程，易知， njxfxf jj ,2,1),()( 1   设给定的允许误差 0 ， 如果  |||| 0 xx n ，则迭代终止， n x 为问题的近似最优解； 否则，重复上述步骤，即从点 n x 出发，依次沿着坐标轴方向 n eee ,,, 21  进行一维搜索 于是，有迭代公式： 11   kkkk exx  ， k  是步长，标量； 1k e 是搜索方向的单位向量

将多维无约束优化问题分解、转化为一系列一维优化问题，轮换沿各个坐标轴一维搜索，直到求得最优点。 在每次迭代内部，要依次沿各坐标轴进行N次（N为优化问题的维数）一维搜索。这种一维搜索是固定其它N-1维变量，视为常量，然后进行一维搜索，，对于第k轮迭代，须重复N次该式的一维搜索，搜索的参数为ajk（即要优化的参数是ajk），为相对第j维变量的搜索步长，搜索方向为第j维空间坐标的方向。当k轮迭代结束后，本轮搜索的重点作为下一轮的起点，即

采用约束坐标轮换法,以弹簧钢丝直径、弹簧中径、弹簧工作圈数为设计变量,以弹簧质量最小作为优化设计目标,对压缩圆柱螺旋弹簧进行优化设计,既能做到各参数之间的优化组合,又能缩短设计周期。设计结果表明,弹簧的质量明显减轻。

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通过坐标轮换法求解一维搜索问题的最优解，坐标轮换法是每次搜索只允许一个变量变化，其余变量保持不变，即沿坐标方向轮流进行搜索的优化方式。

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