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第十八章 动态优化模型 动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求 优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和 优控制理论方 法。 §1 变分法简介 变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统 优控制问题求解的必要条件和 大值 原理。 1.1 变分法的基本概念 1.1.1 泛函 设 S 为一函数集合，若对于每一个函数 Stx ∈)( 有一个实数 J 与之对应，则称 J 是 对应在 S 上的泛函，记作 ))(( txJ 。 S 称为 J 的容许函数集。 通俗地说，泛函就是“函数的函数”。 例如对于 xy 平面上过定点 ),( 11 yxA 和 ),( 22 yxB 的每一条光滑曲线 )(xy ，绕 x 轴 旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线 )(xy 的泛函 ))(( xyJ 。由微积分知识不难写 出 dxxyxyxyJ x x )('1)(2))(( 2 1 2∫ += π （1） 容许函数集可表示为 })( ,)(],,[)(|)({ 221121 1 yxyyxyxxCxyxyS ==∈= （2） 简单的一类泛函表为 ∫= 2 1 ),,())(( t t dtxxtFtxJ & （3） 被积函数 F 包含自变量 t，未知函数 x 及导数 x&。（1）式是 简泛函。 1.1.2 泛函的极值 泛函 ))(( txJ 在 Stx ∈)(0 取得极小值是指，对于任意一个与 )(0 tx 接近的 Stx ∈)( ，都有 ))(())(( 0 txJtxJ ≥ 。所谓接近，可以用距离 ε<))(),(( 0 txtxd 来度量， 而距离定义为 |})()(||,)()({|max))(),(( 000 21 txtxtxtxtxtxd ttt && −−= ≤≤ 泛函的极大值可以类似地定义。 )(0 tx 称为泛函的极值函数或极值曲线。 1.1.3 泛函的变分 如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为 泛函的自变量，函数 )(tx 在 )(0 tx 的增量记为 )()()( 0 txtxtx −=δ 也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作 ))(())()(( 00 txJtxtxJJ −+=Δ δ 如果 JΔ 可以表为

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