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第十五章 含参变量积分 §1 含参变量的常义积分 含参变量常义积分的定义 设 f ( x , y ) 是定义在闭矩形 [ a , b]× [ c , d ] 上的连续函数 , 于是对于任意固 定的 y ∈ [ c , d ] , f ( x , y ) 是 [ a , b] 上关于 x 的一元连续函数 , 因此它在 [ a, b] 上的积分存在 ,且积分值∫ b a f ( x , y ) d x 由 y 惟一确定。也就是说 , I( y ) =∫ b a f ( x , y ) d x , y ∈ [ c , d] 确定了一个关于 y 的一元函数。由于式中的 y 可以看成一个参变量 , 所以称它为 含参变量 y 的积分。同理可定义含参变量 x 的积分 J( x ) =∫ d c f ( x , y )d y , x ∈ [ a , b]。 它们统称含参变量常义积分 ,一般就称为含参变量积分。 图 15 .1 .1 实际应用中经常遇到含参变量积分。如在计算椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( b > a > 0) 的周长时 ,利用椭圆的参数方程 x = acos t , y = bsin t , 记 L 为椭圆在第一象限 的部分 (图 15 .1 .1) , 则所求周长的四分之一为 ∫ L d s _=∫ π 2 0 a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 td t =∫ π 2 0 a 2 sin 2 t + b 2 ( 1 - sin 2 t ) d t

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