求解n维常微分方程的Python四阶Runge-Kutta方法的实现

论文名称：Detecting and quantifying causal associations in large nonlinear time series datasets 作者：Jakob Runge 主要内容：PCMCI算法的提出 因果推断算法 可以处理高维度、强子相关、非线性数据

此 m 函数有助于使用四阶 Runge-Kutta 算法 (RK4) 求解线性和非线性三阶 ODE 系统。 这里求解的系统是著名的洛伦兹混沌系统。 代码可以扩展到更高维度

不确定的微分方程已广泛应用于许多领域，尤其是不确定的金融领域。 不幸的是，我们不能总是得到不确定微分方程的解析解。 早期的研究人员提出了一种基于欧拉方法的数值方法。 本文设计了一种通过广泛使用的Runge-Kutta方法求解不确定微分方程的新数值方法。 给出了一些例子来说明Runge-Kutta方法在计算不确定性微分方程解的不确定性分布，期望值，极值和时间积分时的有效性。

数值计算方法的实验，比较实际好用，大学时期上课很有用

最小二乘法、Romberg、Runge-Kutta、Newton和Xuanjie迭代、Lagrange、Doolittle分解法、改进Euler 推荐使用jupyter运行 ipynb文件格式

1.4阶Runge-Kutta方法求初值问题 2.Lagrange插值多项式验证Runge现象 3.二分法求解非线性方程 4.高斯列主元消去法解线性方程组 资源中附源码可直接运行，还附带详细的解题思路

在数学中，Runge-Kutta-Fehlberg 方法（或 Fehlberg 方法）是数值分析中常微分方程数值解的一种算法。 它由德国数学家 Erwin Fehlberg 开发，基于大量的 Runge-Kutta 方法。 Fehlberg 方法的新颖之处在于它是 Runge-Kutta 系列的嵌入式方法，这意味着相同的函数评估相互结合使用以创建不同阶次和相似误差常数的方法。 Fehlberg 在 1969 年的论文中提出的方法被称为 RKF45 方法，它是一种 4 阶方法，具有 5 阶误差估计量。通过执行一次额外的计算，可以使用更高的阶数来估计和控制解中的误差顺序嵌入方法，允许自动确定自适应步长。 参考： John H. Mathews 和 Kurtis K. Fink，使用 Matlab 的数值方法，第 4 版，2004 年。

% 用法：curve = naturalCurveD(k,t,isplotted) % 输入变量： % k(kappa) - 曲率，可以是单个值或% 向量% t(tau) - 扭力，可以是单个值或向量% isplotted - 指定是否重建的二进制值% 曲线是否绘制。 % 输出变量% 曲线 - 重建曲线

用matlab实现Runge现象，这是matlab中代码