中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 2.2节 本章阐述一个解线性方程的系统方法。该方法称为“消元法”，你可马上在我们的 2 × 2 例子中见到 它。在消元之前，x 和 y 在两个方程中均有出现。消元之后，第一个未知数 x 从第二个方程 8y = 8 中 消失了： 之前 x − 2y = 1 3x + 2y = 11 之后 x − 2y = 1 8y = 8 （方程 1 乘以 3） （减去以消去 3x） 新方程 8y = 8 立马得出 y = 1。将 y = 1 带回到第一个方程中留下 x − 2 = 1。因此 x = 3，求解 (x, y) = (3, 1) 就完成了。 消元法产生了一个上三角方程组——这是目标。非零系数 1, −2, 8 来自一个三角形。这个方程组从 底向上求解——首先 y = 1 然后 x = 3。这个快速过程被称作回代。它用于任何大小的上三角方程组， 经过消元得出一个三角形。重点：原先的方程具有相同的解 x = 3 与 y = 1。图 2.5 揭示了每个方程组都是一对直线，在

中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 2.1节 线性代数的核心问题是求解方程组。这些方程都是线性的，即未知数仅与数相乘——我们绝不会 遇见 x 乘以 y。我们的第一个线性方程组较小。接下来你来看看它引申出多远： 两个方程 两个未知数 x − 2y = 1 3x + 2y = 11 (1) 我们一次从一个行开始。第一个方程 x − 2y = 1 得出了 xy 平面的一条直线。由于点 x = 1, y = 0 解 出该方程，因此它在这条直线上。因为 3 − 2 = 1，所以点 x = 3, y = 1 也在这条直线上。若我们选择 x = 101，那我们求出 y = 50。 这条特定直线的斜率是 12，是因为当 x 变化 2 时 y 增加 1。斜率在微积分中很重要，然而这是线 性代数！ 图 2.1 将展示第一条直线 x − 2y = 1。此“行图”中的第二条直线来自第二个方程 3x + 2y = 11。你 不能错过两条线的交点 x = 3, y = 1。点 (3, 1) 位于两条线上并且解出两个方程。

中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 1.3节 另一个视角改变至关重要。到目前为止，数 x 1 , x 2 , x 3 已知。右手边的 b 未知。我们通过将 A 与 x 相 乘来求出差分向量。现在我们设想 b 为已知然后我们找 x。 旧问题：计算线性组合 x 1 u + x 2 v + x 3 w 来求 b。 新问题：u, v, w 的哪种组合产生一个特定向量 b？ 这是逆问题——求能得出期望输出 b = Ax 的输入 x。你以前见过这个问题，它作为一个关于 x 1 , x 2 , x 3 的线性方程组。方程右手边是 b 1 , b 2 , b 3 。我现在要解方程组 Ax = b 来求 x 1 , x 2 , x 3

中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 1.2节 第一节放弃了讲向量相乘。现在我们继续来定义 v 与 w 的“点积” 。这个乘法包含单独的积 v 1 w 1 和 v 2 w 2 ，但它并不止于此。这两个数加起来得出一个数 v · w。 以下是几何部分 (向量长度及它们夹角的余弦)。 v = (v 1 , v 2 ) 与 w = (w 1 , w 2 ) 的点积或者说内积是数 v · w： v · w = v 1 w 1 + v 2 w 2 . (1) 例 1 向量 v = (4, 2) 与 w = (−1, 2) 点积为零： [ ] [ ] 点积为 0 4 −1 · = −4 + 4 = 0。 垂直向量 2 2 在数学中，0 总是一个特别的数。对于点积，它意味着这两个向量是垂直的。它们的夹角是 90 ◦ 。当我 们在图 1.1 中画出它们时，我们见到了一个矩形（不仅仅是任一平行四边形）。垂直向量最清晰的例子 是沿 x 轴的 i = (1, 0) 与沿 y 轴向上的 j = (0, 1)。再一次地，点积为 i · j = 0 + 0

中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 1.1节 线性组合在这个学科中非常重要！有时我们想要一个特定的组合，具体选择 c = 2 和 d = 1 来产 生 cv + dw = (4, 5)。其它时候我们想要 v 与 u 的所有组合（来自所有的 c 与 d）。 向量 cv 沿一条直线放置。当 w 不在那条直线上时，组合 cv + dw 充满整个二维平面。从四维空 间中的 4 个向量 u, v, w, z 开始，它们的组合 cu + dv + ew + fz 可能充满整个空间——但并不总是 这样。向量和它们的组合可能位于一个平面上或一条直线上。 第 1 章解释了这些中心思想，一切都建立在这些思想上。我们从能够合理绘制的二维向量与三维 向量开始。然后我们移入更高的维度。线性代数真正令人印象深刻的特点是如何流畅地将这一步引入 n 维空间。即使不可能画出十维的向量，你脑海中的画面也会保持是正确的。 这是本书将要通往的地方（进入 n 维空间）。第一步是 1.1 节和 1.2 节的运算。然后是在 1.3 节概 述了 3 个基本思想。

中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 8.3节 1 使用新输入基 Bin 与新输出基 Bout，每个矩阵 A 变成 B −1 out ABin。 2 Bin = Bout =“A 的广义特征向量”得出若尔当型 J = B−1AB。 3 傅里叶矩阵 F = Bin = Bout 将每个循环矩阵对角化（利用 FFT）。 4 正弦与余弦，勒让德与切比雪夫多项式：这些都是函数空间很好的基。 这是本书重要的一节。我担心大多数读者会跳过他——或读不到这里。前几章通过解释基底的概念做 了铺垫。第 6 章介绍了特征向量 x 以及第 7 章找出了奇异向量 v 与 u。这两个是赢家，但其它许多选 择是很有价值的。 首先是 8.2 节的纯代数，然后是优良基。输入基向量将是 Bin 的列。输出基向量将是 Bout 的列。 Bin 和 Bout 总是可逆的——基向量均无关！ 纯代数 若 A 是变换 T 在标准基下的矩阵，则 B−1 out ABin是在新基下的矩阵。 (1) 标准基向量为单位矩阵的列：Bin = In×n 与 Bout = Im×m。现在

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中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 8.2节 1 假设我们知道了关于基底 v 1 , . . . , v n ：的 T (v 1 ), . . . , T (v n )，我们也就知道了所有 T (v)。 2“T 对应矩阵”的 j 列源于将 T 运用到输入基向量 v j 。 3 按输出基底 w 写作 T (v j ) = a 1j w 1 + · · · + a mj w m 。这些 a ij 成为列 j。 4 若输入与输出基 = I n×n 与 I m×m 的列，则 T (x) = Ax 对应的矩阵是 A。 5 当基变为 v 与 w 时，相同 T 对应的矩阵由 A 变为 W −1 AV 。 6 最佳基底：V = W = 特征向量与 V, W = 奇异向量，得出对角 Λ 与 Σ。 下一页为每个线性变换 T 指派了一个矩阵。对于普通列向量，输入 v 在 V = R n 中且输出 T (v) 在 W = R m 中。这个变换对应的矩阵 A 将会是 m × n 的。我们在 V 及 W 中选择的基将决定 A。 R n 及 R m 的标准