设计了求解稀疏优化模型的加速线性Bregman算法，该稀疏优化模型可以理解成基追踪模型的一个近似。设计的加速算法主要基于Lagrange对偶和SVD预条件方法两个技术。由Lagrange对偶理论可知，线性Bregman 算法等价于梯度法极小化对偶问题的目标函数，由此可以推导出线性Bregman算法的收敛速度与矩阵A的条件数有关。据此，通过使用SVD预条件方法改善了A的条件数从而加快了线性Bregman 算法，还考虑了Ax=b不相容的情况，通过等价变换和SVD技术极大地降低了对偶问题的规模，从而设计出有效的加速算法。最后模拟了两个数值实验，验证了算法在速度上的优势。

基于压缩感知（CS）的磁共振成像（MRI）是一种利用磁共振（MR）图像的稀疏性的快速成像技术，经典CS-MRI重建数学模型是在包含线性合成非平滑正则约束下的最优化问题。针对重建模型中的线性合成正则项提出利用原始-对偶框架同时求解原始-对偶问题，对原始-对偶问题的增广Lagrangian形式求解其最优解，提出了一种原始-对偶迭代重建算法；对于非平滑正则项的处理，提出使用Moreau包络进行平滑近似，然后利用近似算子得到平滑近似函数的导数形式。用体模图像和真实MR图像，与共轭梯度算法（CG）、算子分离算法（TVCMRI）、变量分离算法（RecPF）和快速混合分离算法（FCSA）进行比较，表明该算法重建效果最好，算法复杂度与最快的FCSA算法相当。

大规模SDP求解器，基于SDPT3实现文档，全部MATLAB实现，没有底层c语言库

Chan-Vese模型在图像分割领域正被广泛应用。然而,传统的水平集方法存在两个重要的数值问题:水平集函数不能隐式地保持为符号距离函数;由于采用梯度降方法求解使水平集演化速度缓慢。针对该问题提出两种快速分割方法加快演化速度:对偶方法和分裂Bregman方法。为了让水平集保持符号距离函数特性,利用投影方法加以约束,并采用增广Lagrangian方法加快收敛速度。实验结果表明,提出的两种快速分割方法比传统的梯度降方法分割效果好、计算效率高。

二、对偶电路的图解求法  根据例 3‐1 求对偶电路方法的原理，可以总结出一种由图解直接求对偶电路 的一般方法，它适用于任意复杂电路，如下：    （1）在电路的每一回路中取一点，依次编号为 1，2，…，n；在电路外任意 绘一包围线，相当于等电位的节点 0。  （2）从每个编号点出发，向该回路的每一元件和电源画辐射线，到达包围线 或到达相邻的编号点。回路的每个编号点对应于其对偶图中的节点(0点对应于零 电位节点)，而这些辐射线则对应于对偶图中的对偶支路。  （3）对每一回路按相同方向标出回路电流参考方向，使流经两回路边界支路 的两个回路电流方向相反，对每一电势、大件电流和元件电压也都给出参考方向。 按照表 3‐1 进行对偶变换。把电势源换为电流源时，若电势 e 与回路电流的参考 方向一致（此时电压 u＝e 却与电流参考方向正相反），则此电势对偶换为流人节 点的电流源，而回路电流则换为离开节点的电压，从而保持此电流源仍为发生电 功率。同理如一元件的电压与回路电流取相同参考方向，则换为流出节点进入其 对偶元件的电流，如该元件电流与回路电流取相同参考方向，则换为离开节点跨

用原始_对偶算法求解过指定顶点的最短路.pdf

线性约束凸规划的原始对偶内点算法.pdf

5.3 向量场与对偶向量场  5.3.1 切向量、切空间与向量场  现代控制理论的研究，是在状态空间上使用状态方程对动态系统进行描述。非线性系统 的动态演变是在微分流形上进行的，演化结果是流形上的一条曲线。描述无穷小演化的微分 方程是流形上的向量场，因此，研究流形上的动态系统，就要分析流形上的向量场。流形上 向量场的局部坐标表示就是 nR 中的微分方程组。在状态空间中，向量场就是状态方程的几 何解释；相应地，应用向量场来研究动态系统的方法，就是几何方法。 图 5-6 微分的示意图 1 k 维C∞ 向量函数指的是从 kM →R 的C∞ 映射，可以用一个以C∞ 函数为元的 k 维列向量表示。

通信网理论基础：09-对偶与整数规划.pptx

利用单纯形法求解对偶规划，得到最优解 2.1CCR模型