声明：该博文仅用于matlab学习！ 借鉴于 对其四自由度系统进行改进，明确相同刚度下，多自由度矩阵的确定方法。 程序见附件

求解粘滞阻尼质量弹簧系统的常微分运动方程，该系统在受到任意外力时会表现出非线性，周期性，力-位移行为。 导数通过使用[1]中介绍的Newmark-beta方法在时间上隐式积分。 然后，将控制方程的完整数值形式表示为残差，并使用从[2]中获得的Newton-Raphson算法找到解决方案。 弹簧的材料特性可以是线性的也可以是非线性的，因为牛顿法应该以任何一种方式收敛。 通过使用主干曲线定义恢复力与位移之间的非线性关系。 数据作为一组必须严格为正的横坐标对输入。 然后，用户提供的骨架通过水平轴和垂直轴反射，从而使关系变为各向同性，即，无论弹簧是拉伸还是压缩，该关系都是相同的。 假定第一个数据点为初始弹性屈服点。 如果系统在屈服时开始恢复，则主干将从其原始屈服点移至当前位移。 这种移动产生了应变硬化的非常基本的形式。 但是，它无法捕捉到循环应变硬化和降解的更实际效果。 改善弹簧滞后性能的

求解欧拉-伯努利梁的振动（包括无静定梁和简支梁）。 首先使用有限元方法离散域并生成线性二阶 ODE 然后通过 Newmark 方法在时域中对 ODE 进行数值积分

时程分析方法，通过时程分析方法可以分析结构的响应等

动态特性分析时使用的程序，可以学习一下。。。。。。

准周期响应可以出现在各种各样的非线性动力学系统中。 据我们所知，多年来解决准周期解决方案一直是一项艰巨的任务，即使通过数值算法也是如此。 在本文中，我们将分别通过改进Wilson-θ方法和Newmark-β方法来提出有效且准确的拟周期解算法。 在这两种方法中，通常，所考虑的方程式都以增量平衡方程式的形式进行重新排列，系数矩阵在每个时间步中都会更新。 在这项研究中，这两种方法通过预测器-校正器算法进行了改进，而无需更新系数矩阵，其中一个时间点的预测解可以在下一个时间点校正为真实值。 数值算例表明，改进的Wilson-θ方法和Newmark-β方法都可以使用较少的计算资源提供更准确的准周期解。 通过一种简单的方法来调整迭代的收敛性，改进的方法甚至可以有效地解决某些准周期系统，而原来的方法不再有效。

这是有限元课程中的算例，采用Newmark法计算双自由度体系的位移、速度、加速度的Matlab编程。

胡海岩书上Newmark法编程应用实例，二自由度系统，M=[2,0;0,1];K=[6,-2;-2,4]

利用newmark-β的方法求解振动方程，设置步长，积分常数

时程分析法--newmark-b