现代控制理论：第5章 李雅普诺夫稳定性分析.ppt

/Users/fangchuxi/Desktop/IEEE:ACM/视频流 李雅普诺夫/基于边缘的视频分析的自适应配置选择和带宽分配.md

多变量时间序列相空间重构和多变量最大李雅普诺夫指数计算的两篇文献

李雅普诺夫指数的求法MATLAB；涉及自动控制理论，先进控制理论中的稳定性。李雅普诺夫指数的求法MATLAB；涉及自动控制理论，先进控制理论中的稳定性。

三、李雅普诺夫稳定性理论的应用 李雅普诺夫稳定性理论在系统稳定性分析和系统设计中得到较多的应用。下面讨论李雅 普诺夫第二方法在线性系统稳定性分析中的应用。 设系统的状态方程为 �X = AX ( 2 .1 15) 式中 X为 n维状态向量 ; A为 n× n维常数矩阵。选下列二次型函数为可能的李雅普诺夫函数 V ( X) = X T PX ( 2 .1 16) 式中 P为 n× n对称正定矩阵 ,求 V 对时间 t的导数 �V = dV d t = �X T PX + X T P�X = ( AX ) T PX + X T PAX = X T ( A T P + PA ) X ( 2 .1 17) 由于 V ( X ) 取正定 ,如果要使系统渐近稳定 ,必须使�V ( X ) 为负定 ,即要求 �V = - X T QX ( 2 .1 18) 式中 - Q = A T P + PA ( 2 .1 19) 因此使一个线性系统稳定的充分条件是 Q必须为正定。可先选取一个正定 Q阵 , 然后用式 (2 .1 18) 求解 P,再根据 P是否正定来判定系统的渐近稳定性。这比选一个正定的 P,再检查 Q阵是否也是正定要方便得多。P为正定是一个必要条件。为方便计 , Q阵常取为单位阵 I ,此时 P的元素可按下式确定 A T P + PA = - I ( 2 .1 20) 例 2 .1 1 设系统状态方程为 �X = AX 式中 —9—

二、李雅普诺夫稳定性定理 李雅普诺夫第二方法又称李雅普诺夫直接法 ,应用这一方法可在不解微分方程的条件下 确定系统的稳定性 ,因此这一方法有很大的优越性。 对于由式 (2. 1 1 ) 描述的系统 �X = f ( X, t) (2 .1 1) 如果 f (0 , t) = 0 (2 .1 6) 则系统可能的平衡状态 Xe = 0 ,即为坐标原点 0。 为了分析系统的稳定性 ,李雅普诺夫引出一个虚构的能量函数 ,称为李雅普诺夫函数。分 析这一函数的性质 ,就可解析地分析系统的稳定性。下面讨论李雅普诺夫函数和李雅普诺夫稳 定性定理及其应用。 (一 ) 李雅普诺夫函数 图 2. 1 3 质量 阻尼器 弹簧系统 对于一个机械振动系统 ,如果系统的总能量随 着时间 t的增长而连续地减少 ,直到平衡状态为止 , 则系统是稳定的。在这种情况下 ,系统的总能量对时 间的导数是负的。为了说明问题 , 先举一个质量 阻 尼器 弹簧的机械系统例子 ,如图2 .1 3 所示。 系统的自由运动方程为 m̈y + f�y + ky = 0 (2 .1 7) 式中 m为物体的质量 ; y为物体的位移 ; f 为阻尼系 数 ; k为弹簧刚度。取状态变量为 x1 = y , x2 = �y ,则 可得系统状态方程 �X = 0 1 - k m - 1 f X (2 .1 8) 式中 X = [ x1 x2 ] T 。设系统静止时 y = 0 和�y = 0 ,即 x1 = 0 和 x2 = 0 , Xe = [ 0 0 ] T 为系 统静止状态或平衡状态。 系统含有两个贮能元件 :质量和弹簧。因此 ,系统的总能量等于贮存在质量中的动能和贮 存在弹簧中的势能之和 ,即 V ( X, t) = 1 2 mx 2 2 + 1 2 kx 2 1 (2 .1 9) 总能量 V ( X, t) 恒为正 ,即当 X≠ 0时 , V ( X, t) > 0。当 X = 0时 , V ( 0) = 0。V ( X , t) 称为李雅 普诺夫函数。 求 V ( X, t) 对时间 t的导数 dV d t = �V �x 1 �x1 + �V �x 2 �x2 = kx1�x 2 1 + mx2�x2 ( 2 .1 10) 由式 (2 .1 8 ) 可得 —7—

线性定常离散系统渐进稳定性判别 设系统状态方程： 其中 -非奇异阵， 是平衡状态。 设

有限演化博弈收敛性的李雅普诺夫函数法

2、定常系统的大范围渐近稳定判别定理一 如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x)，V(0)=0，且对状态空间中的一切非零点x满足： (1)、V(x)正定且有界 (2)、V(x)对时间t的导数 负定 (3)、当 时，有V(x) 则系统的原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。 对于定常系统： 对t0成立f(0)=0。

随着耦合强度的变化，给定的代码可以找到耦合振荡器系统的最大李雅普诺夫指数 (LLE)。 全局变量“be”和“gm”是表示两个耦合振荡器的耦合微分方程中的系统特定参数。 'gm' 是变化的耦合强度。 每个轨迹的初始条件包括两个振荡器的初始坐标和速度。 变量“ t0”和“ tf”代表每个时间序列的起点和终点，而“ N”是每个时间序列的步数。 在第 32 行和第 33 行中，调用函数 ode_RK4_Yang() 以通过 Runge-Kutta (RK4) 方法对两组初始条件中的每组的耦合微分方程进行数值求解。 其余的描述以注释的形式给出了代码本身。