根据给定的信息，我们可以从这份文档中提取出与图论相关的知识点，并进行详细的解析和解释。下面将逐一分析文档中的各个部分所涉及的关键概念和技术。 ### 图论课后参考答案 #### 1-6题 题目描述：若图\(G=(V,E)\)，对于\(v\in V\)，如果存在\(d(v)\geq 2\)，那么图\(G\)中至少存在一个长度为\(2\)的路径\(P(u_1,u_n)\)。 解析： - **定义**：在这个问题中，我们关注的是图\(G\)中是否存在长度为\(2\)的路径。这里提到的\(d(v)\)表示顶点\(v\)的度（即与之相连的边的数量）。 - **分析**：如果在图\(G\)中，某个顶点\(v\)的度\(d(v)\geq 2\)，这意味着\(v\)至少与两个其他顶点相连。因此，从其中一个相邻顶点到\(v\)再到另一个相邻顶点就构成了一条长度为\(2\)的路径。 - **结论**：根据上述分析，可以得出结论：只要图\(G\)中存在度数至少为\(2\)的顶点，那么图中一定存在长度为\(2\)的路径。 #### 1-12题 题目描述：给出一组序列，要求判断这些序列是否能够作为某个图的度序列。 解析： - **度序列**：一个图的度序列是指图中所有顶点的度数按非递减顺序排列而成的序列。 - **判断方法**：对于一个图的度序列，它必须满足以下条件： - 序列中的最大值不能超过序列中所有元素之和的一半。 - 如果序列中的最大值大于\(1\)，则可以将序列中最大值减\(1\)，并将这个新值插入到序列中，重复此过程直到最大值变为\(1\)或序列变为合法为止。 - **例子**： - (a) 序列\(314321\)：不合法，因为最大值\(4\)超过了序列所有元素之和的一半。 - (b) 序列\(2143212\)：不合法，同上。 - (c) 序列\(21343214\)：不合法，同上。 - (d) 序列\(512545234\)：不合法，同上。 #### 1-13题 题目描述：求完全二部图\(K_{m,n}\)的边数。 解析： - **完全二部图定义**：完全二部图\(K_{m,n}\)由两组互不相交的顶点集合\(V_1\)和\(V_2\)组成，其中\(V_1\)中有\(m\)个顶点，\(V_2\)中有\(n\)个顶点，并且\(V_1\)中的每个顶点都与\(V_2\)中的所有顶点相连。 - **计算公式**：完全二部图\(K_{m,n}\)的边数等于两组顶点数量的乘积，即\(mn\)。 - **证明**：每个\(V_1\)中的顶点都会与\(V_2\)中的\(n\)个顶点相连，因此总共会有\(m \times n\)条边。 #### 1-15题 题目描述：讨论完全二部图\(K_{m,n}\)的性质。 解析： - **性质1**：对于任意的\(m\)和\(n\)，完全二部图\(K_{m,n}\)的边数等于\(mn\)。 - **性质2**：完全二部图\(K_{m,n}\)的最大度数为\(\max(m,n)\)。 - **性质3**：如果\(m=n\)，那么\(K_{m,n}\)是一个正则图。 - **性质4**：对于任意\(m\)和\(n\)，完全二部图\(K_{m,n}\)是\(2\)-着色的（即可以用两种颜色来着色图中的顶点，使得任何相邻顶点的颜色不同）。 - **性质5**：对于任意\(m\)和\(n\)，完全二部图\(K_{m,n}\)的色数为\(\min(m,n)\)。 #### 1-19题 题目描述：讨论连通图\(G\)删除某条边后的连通性变化情况。 解析： - **定义**：连通图\(G\)是一个无向图，其中任意两个顶点之间都存在一条路径。 - **分析**：当删除一条边\(e\)后，连通图\(G\)可能保持连通，也可能变得不连通。具体取决于\(e\)是否属于图中的环。 - 如果\(e\)不属于任何环，则\(G-e\)将不再连通。 - 如果\(e\)属于环，则\(G-e\)仍然是连通的。 - **结论**：为了判断删除一条边后图的连通性是否改变，我们需要检查该边是否是桥（即该边不在任何环中）。如果是桥，则删除该边会使图变得不连通；如果不是桥，则图仍然保持连通。 ### 总结 通过以上对文档内容的解析，我们可以看到图论这一领域涉及到了许多基础而又重要的概念，比如图的度序列、完全二部图及其性质、连通性和桥等。理解这些概念不仅有助于解决具体的数学问题，也是进一步研究更高级图论理论的基础。

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