内容概要：本文详细介绍了如何使用MATLAB和物理信息神经网络（PINN）求解二维泊松方程。首先简述了泊松方程及其重要性，随后深入探讨了PINN的工作原理，即通过将物理方程作为约束加入神经网络训练过程，使网络能够学习到符合物理规律的解。文中提供了完整的MATLAB代码实现，涵盖神经网络结构搭建、训练数据准备、损失函数定义、训练过程及结果可视化等多个环节。此外，还讨论了一些实用技巧，如选择合适的激活函数、调整网络层数、优化训练参数等。 适用人群：适用于具有一定MATLAB编程基础和技术背景的研究人员、工程师或学生，特别是那些对数值模拟、物理学建模感兴趣的群体。 使用场景及目标：本方法可用于快速求解各种物理问题中的泊松方程，尤其适合于那些难以用传统方法精确求解的情况。通过这种方式，研究者可以获得更加直观的理解，并探索不同条件下解的变化趋势。 其他说明：尽管PINN相比传统方法有诸多优势，但在某些特定情况下（如存在奇异点），仍需谨慎对待。同时，随着硬件性能提升，未来有望进一步提高求解效率和准确性。

该文章是对齐次边界条件的二维泊松方程的虚拟有限元方法的误差分析，是参考了别人文章，并对证明过程细化，基本自成体系，读者再需要一些不等式的知识，比如柯西不等式、柯西施瓦茨不等式、庞加来不等式即可。想学习虚拟有限元的可以作为参考，在文章最后给了刚度矩阵和荷载向量的计算公式。不尽之处还望指出！

5.06.Multigrid2D 二维泊松方程的V周期多重网格方法

泊松方程的数值解（二维情况）有限差分法。

POISSON2DNEUMANN 求解二维泊松方程 d2UdX2 + d2UdY2 = F，所有侧壁均采用零诺伊曼边界条件。 我们正在使用离散余弦变换来求解具有零Neumann边界条件的Poisson方程。

使用标准 5 点模板在 2x2 正方形域上以迭代方式（要指定迭代次数）求解 2D 泊松方程。 已使用齐次诺依曼边界条件。

% 本程序通过高斯赛达尔法求解二维泊松方程。 %它以d2u/dx2+d2u/dy2=f2(x,y)的形式求解方程。f2.m是二阶导数函数。 % g 是边界条件函数清除;

采用有限差分的方法，利用matlab实现，采用逐次更新矩阵的形式求解。

通过matlab实现二维泊松求解，采用构建系数矩阵的形式，对系数矩阵求逆矩阵可获得最终结果。