一 (20分)用二分法求方程在区间[1.0, 1.5]内的一个实根,且要求有3位有效数字。试完成:
(1) 估计需要二分的次数;(8分)
(2) 将计算过程中数据填入表1.(中间过程填写到小数点后面3位)(12分,每个得2分,其它空不计分)
表1 题1计算过程
0
1.0
1.5
1.25
1
2
3
4
5
6
二. (10分) 为了计算方程的根,某同学将改写为,并建立迭代公式。请问此迭代公式在R上是否全局收敛的吗?说明理由。
三. (20分)设有方程,试回答下列问题:
(1) 确定方程实根的数目;(4分)
(2) 迭代公式在区间[1,2]上是否全局收敛;(10分)
(3) 在表2中填写相应的计算数据。(要求填写到小数点后3位)(6分)
表2 第三题表
0
1
2
3
四. (15分) 试构造一个能求的迭代公式,并讨论收敛性。
五. (15分) 由一个高为10m的圆柱构成的发射井的顶部是一个半球,体积之和是400m3。试确定发射井底部的半径,精确到小数点后4位。取 (要求用牛顿法,写出分析过程)
六. (5分) 用割线法计算第五题中的半径.(精度要求与第五题相同)
七. (15) 设是方程的m()重根,即具有形式.
证明:
用牛顿迭代法时,迭代函数满足.(此时,只能是线性收敛)
若将迭代函数改进为,那么证明改进后的方法至少是平方收敛的.
(提示: (1) )的重根时,的表达式中可以消去含.
(2) 只需证明.)
八. (选做)证明迭代公式是计算.
1