线性代数的许多应用都需要时间来发展。在一个小时内解释它们并不容易。教师和作者必须在使理论 完整与加入现代应用之间做选择。通常是理论获胜，然而本节是个例外。本节解释了上世纪最有价值的 数值算法。 我们想快速地乘上傅里叶矩阵 F 与它的逆 F−1。这通过快速傅里叶变换完成。一个普通乘积 Fc 用到 n2 次乘法(F 具有 n2 项)。FFT 仅需要 n 乘以 12 log2 n 次乘法。我们将看到这是如何实现的。 FFT 彻底改变了信号处理。整个行业都因该思想而迅速发展。电气工程师是第一个知道其中区别 的人——当他们遇见你时会取你的傅里叶变换(假设你是个函数)。傅里叶的思想是将 f 表示为谐波 ckeikx 的和。在频率空间中通过系数 ck 观察该函数，而非在实际空间中通过其值 f(x) 来观察它。c 与 f 间的前向、后向通道是由傅里叶变换实现。快速通道由 FFT 实现。中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 9.3节 单位根与傅里叶矩阵 二次方程有两个根(或者一个重根)。n 次方程具有 n 个根(算上重复次数)。这是代数基本定

中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 9.2节 本节的要点可由一句话表达：当你转置一个向量 z 或一个矩阵 A 时，也要取其复共轭。不要停在 z T 或 AT 。反转所有虚部的符号。从列向量 zj = aj + ibj 开始，其符合标准的行向量 z T 为分量是 aj − ibj 的共轭转置： 这里是转为 z T 的一个原因。实向量长度的平方为 x21 + · · · + x2n 。复向量长度的平方并非 z12 + · · · + zn2 。 用这个错误定义的话，(1, i) 的长度将是 12 + i2 = 0。一个非零向量将有 0 长度——不可接受。其它向 量将有复数长度。我们想要 a2 + b2 而不是 (a + bi)2 ，即绝对值的平方。就是 (a + bi) 乘以 (a − bi)。 2 对于每个分量，我们想使 zj 乘以 z j ，即 |zj | = a2j + b2j 。当 z 的分量乘以乘以 z 的分量时：

线性代数的完整展示必须包含复数 z = x + iy。即使在矩阵是实矩阵的情况下，其特征值与特征向量也往往是复数。例如：一个 2 × 2 矩阵有复特征向量 x = (1, i) 与 x = (1, −i)。

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中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 6.2节

Introduction to Linear Algebra, 5th Edition，英文版本。提供大家学习参考。

中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 2.5节 1 若方阵 A 有逆，则既有 A−1A = I 又有 AA−1 = I。 2 检验可逆性的算法是消元法：A 必须有 n 个（非零）主元。 3 可逆性的代数检验是 A 的行列式：det A 必须非零。 4 可逆性的方程检验为 Ax = 0：x = 0 必须是唯一解。 5 若 A 和 B 都可逆，则 AB 也可逆： (AB)−1 = B−1A−1。 6 AA−1 = I 是关于 A−1 的 n 个列的 n 个方程。高斯—若尔当将 [A I] 消元为 [I A−1]。 7 本书最后一页提供了方阵 A 可逆的 14 个等价条件。 假设 A 是个方阵。我们寻找一个相同大小的“逆矩阵”A−1，使得 A−1 乘以 A 等于 I。无论 A 做 什么，A−1 总是反着来。它们的积是单位矩阵——即对向量什么都不做，因此 A−1Ax = x。然而 A−1 可能不存在。 一个矩阵的主要作用是与一个向量 x 相乘。将 Ax = b 乘上 A−1 得出 A−1Ax = A−1b。这就是 x = A−1b。乘