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中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 1.3节 另一个视角改变至关重要。到目前为止，数 x 1 , x 2 , x 3 已知。右手边的 b 未知。我们通过将 A 与 x 相 乘来求出差分向量。现在我们设想 b 为已知然后我们找 x。 旧问题：计算线性组合 x 1 u + x 2 v + x 3 w 来求 b。 新问题：u, v, w 的哪种组合产生一个特定向量 b？ 这是逆问题——求能得出期望输出 b = Ax 的输入 x。你以前见过这个问题，它作为一个关于 x 1 , x 2 , x 3 的线性方程组。方程右手边是 b 1 , b 2 , b 3 。我现在要解方程组 Ax = b 来求 x 1 , x 2 , x 3

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中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 1.2节 第一节放弃了讲向量相乘。现在我们继续来定义 v 与 w 的“点积” 。这个乘法包含单独的积 v 1 w 1 和 v 2 w 2 ，但它并不止于此。这两个数加起来得出一个数 v · w。 以下是几何部分 (向量长度及它们夹角的余弦)。 v = (v 1 , v 2 ) 与 w = (w 1 , w 2 ) 的点积或者说内积是数 v · w： v · w = v 1 w 1 + v 2 w 2 . (1) 例 1 向量 v = (4, 2) 与 w = (−1, 2) 点积为零： [ ] [ ] 点积为 0 4 −1 · = −4 + 4 = 0。 垂直向量 2 2 在数学中，0 总是一个特别的数。对于点积，它意味着这两个向量是垂直的。它们的夹角是 90 ◦ 。当我 们在图 1.1 中画出它们时，我们见到了一个矩形（不仅仅是任一平行四边形）。垂直向量最清晰的例子 是沿 x 轴的 i = (1, 0) 与沿 y 轴向上的 j = (0, 1)。再一次地，点积为 i · j = 0 + 0