### MATLAB基础知识及数理统计中的应用
#### 一、MATLAB软件简介
MATLAB是由美国Mathworks公司于1967年推出的、基于矩阵运算的交互式软件包。“Matrix Laboratory”(简称MATLAB)不仅是一种直观且高效的计算机语言,同时还是一个强大的科学计算平台。MATLAB为数据分析和数据可视化、算法开发以及应用程序设计提供了核心的数学和高级图形工具。通过提供的500多个数学和工程函数,工程师和技术人员可以在集成环境中进行交互或编程计算。
MATLAB广泛应用于各个领域,包括但不限于:
- **线性代数**:解决线性方程组、矩阵运算等。
- **概率统计**:进行数据分析和建模。
- **图像处理**:图像识别、增强和压缩。
- **样条分析**:曲线拟合和数据平滑。
- **信号处理**:时频域分析、滤波器设计等。
- **小波分析**:时间-频率分析、信号压缩等。
- **振动理论**:结构动力学模拟。
- **神经网络**:模式识别、数据分类。
- **自动控制**:系统设计与仿真。
- **系统识别**:模型建立与参数估计。
- **算法优化**:搜索最佳解决方案。
- **财政金融**:风险评估、资产定价。
MATLAB的主要功能包括:
1. **数值计算功能** (Numeric):支持各种基本数学运算、矩阵操作等。
2. **符号计算功能** (Symblic):允许用户执行符号运算。
3. **图形和可视化功能** (Graphic):创建二维和三维图形、动画等。
4. **MATLAB的活笔记本功能** (Notebook):集成文档编写与代码运行。
5. **可视化建模和仿真功能** (Simulink):用于动态系统的建模、仿真和分析。
MATLAB的工作环境包括:
- **命令窗口**:执行命令的地方。
- **文本编辑窗口**:编写和保存程序脚本。
- **图形窗口**:显示图表和图形界面。
- **工作台窗口**:管理变量和函数。
- **指令历史纪录窗口**:记录已执行的命令。
- **当前目录选择窗口**:浏览和管理文件。
#### 二、常用概率分布及代码
MATLAB提供了丰富的概率分布函数,可以分为连续型分布和离散型分布两大类。
- **连续型分布**:
- **连续均匀分布** (`unif`):表示所有可能的结果都具有相同的概率。
- **指数分布** (`exp`):常用于描述等待时间或故障时间的概率分布。
- **正态分布** (`norm`):适用于大量自然和社会现象的描述。
- **对数正态分布** (`logn`):描述了随机变量的对数服从正态分布的情况。
- **Weibull分布** (`wbl`):在可靠性工程和生存分析中广泛应用。
- **离散型分布**:
- **二项分布** (`bino`):描述独立重复试验中成功次数的概率分布。
- **泊松分布** (`poiss`):适用于描述单位时间内事件发生的次数。
- **几何分布** (`geo`):描述第一次成功出现前的失败次数。
- **超几何分布** (`hyge`):没有放回地抽取样本时的概率分布。
- **负二项分布** (`nbin`):在固定的成功次数之前失败次数的概率分布。
#### 三、常见分布的五类函数
对于每种分布,MATLAB提供了以下五类函数:
1. **概率密度函数** (PDF):表示随机变量在某一点取值的概率密度。
- `normpdf`:正态分布的概率密度函数。
- `chi2pdf`:卡方分布的概率密度函数。
- `tpdf`:t分布的概率密度函数。
- `fpdf`:F分布的概率密度函数。
2. **累积分布函数** (CDF):表示随机变量小于等于某个值的概率。
- `normcdf`:正态分布的累积分布函数。
- `chi2cdf`:卡方分布的累积分布函数。
- `tcdf`:t分布的累积分布函数。
- `fcdf`:F分布的累积分布函数。
3. **逆累积分布函数** (ICDF):给出累积分布函数值,反求随机变量的值。
- `norminv`:正态分布的逆累积分布函数。
- `chi2inv`:卡方分布的逆累积分布函数。
- `tinv`:t分布的逆累积分布函数。
- `finv`:F分布的逆累积分布函数。
4. **随机数发生函数**:生成指定分布的随机数。
- `normrnd`:正态分布的随机数发生函数。
- `chi2rnd`:卡方分布的随机数发生函数。
- `trnd`:t分布的随机数发生函数。
- `frnd`:F分布的随机数发生函数。
5. **均值和方差函数**:计算分布的期望值和方差。
- 对于每种分布,MATLAB提供了计算其均值和方差的函数。
#### 四、实例代码与解算
接下来我们通过一个具体的例子来展示如何使用MATLAB进行数理统计分析。例如,在齿轮加工中,齿轮的径向综合误差是一个随机变量,通过对200件同样的齿轮进行测量得到的数据,可以利用MATLAB来绘制频率密度直方图,并计算经验分布函数。
假设已经有一组数据如下:
```
data = [16 25 19 20 25 33 24 23 20 24 ...
25 17 15 21 22 26 15 23 22 24 ...
...];
```
为了绘制这组数据的频率密度直方图,可以使用以下MATLAB代码:
```matlab
% 绘制频率密度直方图
histogram(data,'Normalization','probability');
xlabel('数值 (mm)');
ylabel('频率密度');
title('频率密度直方图');
```
为了绘制经验分布函数,可以使用`ecdf`函数:
```matlab
% 绘制经验分布函数
figure;
ecdf(data);
xlabel('数值 (mm)');
ylabel('累积概率');
title('经验分布函数');
```
以上就是MATLAB基础知识及数理统计中的应用介绍。通过这些基础知识的学习和掌握,我们可以更加熟练地运用MATLAB进行各种数据分析和统计计算任务。
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