不定积分小结
一、不定积分基本公式
二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得）
三、普遍方法
(一)换元积分法：
第一类换元积分法(凑微分法)
第二类换元积分法
(二)分部积分法
(三)特殊函数积分法
1、有理函数的不定积分
2021-04-25 10:54:58
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本帖代码和教程有Matlab技术论坛原创，原帖参见http://www.matlabsky.com/viewthread.php?tid=3885
一、数值积分基本公式
数值求积基本通用公式如下
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2009-11-20 23:23
xk：求积节点
Ak：求积系数，与f(x)无关
数值积分要做的就是确定上式中的节点xk和系数Ak。可以证明当求积系数Ak全为正时，上述数值积分计算过程是稳定。
二、插值型数值积分公式
对f(x)给定的n+1个节点进行Lagrange多项式插值，故
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即求积系数为
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三、牛顿-柯特斯数值积分公式
当求积节点在[a,b]等间距分布时，插值型积分公式（先使用Lagrange对节点进行多项式插值，再计算求积系数，最后求积分值）称为Newton-Cotes积分公式。
由于Newton-Cotes积分是通过Lagrange多项式插值变化而来的，我们都知道高次多项式插值会出现Runge振荡现象，因此会导致高阶Newton-Cotes公式不稳定。
Newton-Cotes积分公式的求积系数为
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其中C(k,n)称为柯特斯系数。
(1)当n=1时，Newton-Cotes公式即为梯形公式
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容易证明上式具有一次代数精度(对于Newton-Cotes积分公式，n为奇数时有n次迭代精度，n为偶数时具有n+1次精度，精度越高积分越精确，同时计算量也越大)
(2)当n=2时，Newton-Cotes公式即为辛普森(Simpson)公式或者抛物线公式
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上式具有3次迭代精度
(3)当n=4时，Newton-Cotes公式称为科特斯(Cotes)公式
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上式具有5次迭代精度。由于n=3和n=2时具有相同的迭代精度，但是n=2时计算量小，故n=3的Newton-Cotes积分公式用的很少
(4)当≥8时，通过计算可以知道，在n=8时柯特斯系数出现负值
由于数值积分稳定的条件是求积系数Ak必须为正，所以n>=8以上高阶Newton-Cotes公式，我们不能保证积分的稳定性(其根本原因是，Newton-Cotes公式是由Lagrange插值多项推导出来的，而高阶多项式会出现Rung现象)。
四、复化求解公式
n阶Newton-Cotes公式只能有n+1个积分节点，但是高阶Newton-Cotes公式由不稳定。为了提高大区间的数值积分精度，我们采用了分段积分的方法，即先将原区间划分成若干小区间，然后对每一个小区间使用Newton-Cotes积分公式，这就是复化Newton-Cotes求积公式。
(1)当n=1时，称为复化梯形公式。将[a,b]等分为n份，子区间长度为h=(b-a)/n，则复化梯形公式为
(注意：复化求解公式不需要求积子区间等间距，只是Newton-Cotes公式分段积分时自动对小区间进行等分，我们这里采用等分子区间是为了便于计算而已)
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(2)当n=2时，称为复化辛普森公式。
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五、Newton-Cotes数值积分公式Matlab代码
2019-12-21 20:21:34
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