机器学习数学基础：线性代数+微积分+概率统计+优化算法 机器学习作为现代科技的璀璨明珠，正在逐渐改变我们的生活。而在这背后，数学扮演着至关重要的角色。线性代数、微积分、概率统计和优化算法，这四大数学领域为机器学习提供了坚实的理论基础。 线性代数是机器学习中的基础语言。矩阵和向量作为线性代数中的核心概念，是数据表示和计算的基础。在机器学习中，我们经常需要将数据转化为矩阵形式，通过矩阵运算提取数据的特征。特征提取是机器学习模型训练的关键步骤，而线性代数则为我们提供了高效处理数据的工具。 微积分则是机器学习模型优化的得力助手。在机器学习中，我们通常需要找到一种模型，使得它在给定数据集上的性能达到最优。这就需要我们对模型进行求导，分析模型参数对性能的影响，进而调整参数以优化模型。微积分中的导数概念为我们提供了分析模型性能变化的方法，帮助我们找到最优的模型参数。 概率统计则是机器学习数据处理和模型评估的基石。在机器学习中，数据往往带有噪声和不确定性，而概率统计可以帮助我们评估数据的分布和特征，进而构建更加稳健的模型。同时，概率统计也为我们提供了模型评估的方法，通过计算模型的准确率、召回率 ### 机器学习数学基础详解 #### 一、线性代数基础 **1.1 向量和矩阵** - **1.1.1 标量、向量、矩阵、张量之间的联系** 标量、向量、矩阵和张量是线性代数中的基本概念，它们之间存在着紧密的联系。 - **标量（Scalar）**：一个单独的数字，没有方向。 - **向量（Vector）**：一组有序排列的数字，通常用来表示方向和大小。 - **矩阵（Matrix）**：一个二维数组，由行和列组成的数据结构。 - **张量（Tensor）**：一个更高维度的数组，它可以是标量（0维）、向量（1维）、矩阵（2维）或更高维度的数组。 **联系**：标量可以视为0维张量；向量是一维张量；矩阵是二维张量；更高维度的数组称为张量。 - **1.1.2 张量与矩阵的区别** - **代数角度**：矩阵是二维张量，而更高维度的张量则包含了更复杂的数据结构。 - **几何角度**：矩阵和向量都是不变的几何量，不随参照系的变化而变化。张量也可以用矩阵形式来表达，但其可以扩展到更高的维度。 - **1.1.3 矩阵和向量相乘结果** 当一个矩阵与一个向量相乘时，可以理解为矩阵的每一行与向量相乘的结果构成新的向量。 - 例如，如果有一个$m \times n$的矩阵$A$与一个$n \times 1$的向量$x$相乘，结果将是一个$m \times 1$的向量$y$，其中每个元素$y_i = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_j$。 - **1.1.4 向量和矩阵的范数归纳** 向量的范数是衡量向量大小的一种标准。 - **向量的1范数**：向量各分量的绝对值之和。 - 对于向量$\vec{x} = (x_1, x_2, ..., x_n)$，其1范数定义为$||\vec{x}||_1 = |x_1| + |x_2| + ... + |x_n|$。 - **向量的2范数**：也称为欧几里得范数，是各分量平方和的开方。 - $||\vec{x}||_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}$。 - **向量的无穷范数**：向量各分量的最大绝对值。 - $||\vec{x}||_\infty = \max(|x_1|, |x_2|, ..., |x_n|)$。 **1.2 导数和偏导数** - **1.2.1 导数偏导计算** 导数用于描述函数在某一点处的变化率，而偏导数则是多元函数关于其中一个自变量的变化率。 - **1.2.2 导数和偏导数有什么区别？** - **导数**：对于单一自变量的函数$f(x)$，导数$f'(x)$描述了该函数在$x$点处的切线斜率。 - **偏导数**：对于多变量函数$f(x_1, x_2, ..., x_n)$，偏导数$\frac{\partial f}{\partial x_i}$描述了当保持其他变量不变时，$f$关于$x_i$的变化率。 **1.3 特征值和特征向量** - **1.3.1 特征值分解与特征向量** 特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，用于理解和简化矩阵。 - **特征值**：如果存在非零向量$\vec{v}$使得$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$，那么$\lambda$就是矩阵$A$的一个特征值。 - **特征向量**：满足上述等式的非零向量$\vec{v}$。 - **1.3.2 奇异值与特征值的关系** - **奇异值**：对于任何矩阵$A$，其奇异值是$A^\top A$（或$AA^\top$）的特征值的平方根。 - **关系**：奇异值和特征值在特定情况下相同，尤其是在正交矩阵和对称矩阵中。 #### 二、微积分基础 - **1.2 导数和偏导数**（已在上文提到） - **1.3 特征值和特征向量**（已在上文提到） #### 三、概率统计基础 **1.4 概率分布与随机变量** - **1.4.1 机器学习为什么要使用概率** 在机器学习中，概率用于描述数据的不确定性，并提供了一种量化方式来预测未来事件的可能性。 - **1.4.2 变量与随机变量有什么区别** - **变量**：可以取多种不同值的量。 - **随机变量**：变量的一种特殊类型，其值是根据某个概率分布随机确定的。 - **1.4.3 随机变量与概率分布的联系** - 随机变量的每个可能值都对应一个概率，这些概率构成了随机变量的概率分布。 - **1.4.4 离散型随机变量和概率质量函数** - **离散型随机变量**：只能取有限个或可数无限个值的随机变量。 - **概率质量函数**：描述离散型随机变量各个值的概率。 - **1.4.5 连续型随机变量和概率密度函数** - **连续型随机变量**：可以取区间内的任意值的随机变量。 - **概率密度函数**：描述连续型随机变量在某一区间的概率密度。 - **1.4.6 举例理解条件概率** - 条件概率$P(A|B)$表示在事件$B$已经发生的条件下，事件$A$发生的概率。 - 例如，假设在一个班级中，$P(\text{女生}) = 0.5$，$P(\text{女生|戴眼镜}) = 0.6$，意味着在戴眼镜的学生中，60%是女生。 - **1.4.7 联合概率与边缘概率联系区别** - **联合概率**：两个事件同时发生的概率。 - **边缘概率**：单个事件发生的概率。 - **联系**：联合概率可以通过边缘概率和条件概率计算得出。 - **1.4.8 条件概率的链式法则** - 条件概率的链式法则描述了如何通过一系列条件概率来计算联合概率。 - 例如，$P(A,B,C) = P(C|A,B)P(B|A)P(A)$。 - **1.4.9 独立性和条件独立性** - **独立性**：两个事件$A$和$B$独立，如果$P(A|B) = P(A)$且$P(B|A) = P(B)$。 - **条件独立性**：事件$A$和$B$在已知事件$C$的情况下条件独立，如果$P(A|B,C) = P(A|C)$。 **1.5 常见概率分布** - **1.5.1 Bernoulli分布** - 描述只有两种可能结果的随机试验（如成功或失败）的概率分布。 - 参数$p$表示成功的概率，失败的概率为$1-p$。 - **1.5.2 高斯分布** - 又称正态分布，是一种非常常见的连续概率分布。 - 参数$\mu$代表均值，$\sigma^2$代表方差。 - **1.5.3 何时采用正态分布** - 正态分布广泛应用于自然和社会科学领域，特别是在中心极限定理的支持下，很多随机变量可以近似为正态分布。 - **1.5.4 指数分布** - 描述事件发生的时间间隔的分布。 - 参数$\lambda$表示事件发生的平均频率。 - **1.5.5 Laplace 分布** - 也是一种连续概率分布，具有比高斯分布更重的尾部。 - 参数$\mu$代表均值，$b$代表尺度参数。 - **1.5.6 Dirac分布和经验分布** - **Dirac分布**：一个概率质量集中在单个点的分布。 - **经验分布**：基于观测数据的分布，反映了数据的真实概率分布情况。 **1.6 期望、方差、协方差、相关系数** - **1.6.1 期望** - 期望是对随机变量取值的加权平均。 - 对于离散型随机变量，期望定义为$E[X] = \sum x_i p(x_i)$。 - **1.6.2 方差** - 方差衡量随机变量与其期望值之间的偏差程度。 - 定义为$Var(X) = E[(X-E[X])^2]$。 - **1.6.3 协方差** - 协方差描述两个随机变量之间的线性相关性。 - 定义为$Cov(X,Y) = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]$。 - **1.6.4 相关系数** - 相关系数是标准化后的协方差，用于衡量两个变量的相关强度。 - 定义为$\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$，其中$\sigma_X$和$\sigma_Y$分别是$X$和$Y$的标准差。 通过以上详细的介绍，我们可以看到，线性代数、微积分、概率统计和优化算法在机器学习中的应用极为广泛，它们为机器学习提供了坚实的数学基础。掌握这些基础知识对于深入理解机器学习算法至关重要。

弯曲时空中的高阶导数标量场理论属于GLPV理论，该理论非最小地与麦克斯韦场耦合。 我们将证明该理论在FRW背景下接受了两个独立的精确de Sitter解，一个是由宇宙常数驱动的，另一个是由GLPV标量场驱动的。 该理论的动力系统分析表明，这两个精确解都是稳定的不动点。 同样，对这些解的宇宙学扰动表明，基于宇宙常数的解在线性水平上是健康的，但是基于GLPV的解在标量扇区中存在梯度不稳定性。 这证明了GLPV-Maxwell系统中需要宇宙常数，以便拥有健康的de Sitter解决方案。

f x e^x利用数值微分的外推算法求 f 1 一阶导数的近似值

L1正则化技术F(w;x,y)=J(w;x,y)+α∣∣w∣∣1=J(w;x,y)+α∑i=1n∣wi∣假设w∗是损失函数J(w;x,y)最优解，J(w;x,y)在w∗处泰勒展J(w;x,y)=J(w∗;x,y)+J′(w∗;x,y)(w−w∗)+12!J′′(w∗;x,y)(w−w∗)2  ∵w∗是J(w;x,y)最优解，则J′(w∗;x,y)=0，则可以去除J(w∗;x,y)+12!J′′(w∗;x,y)(w−w∗)2J′′是二阶导数，当是高维的时候就变成了H矩阵了。J(w∗;x,y)+12!H(w−w∗)2∴F(w;x,y)=J(w;x,y)+α∣∣w∣∣1=J(w∗;x,y)+12!H

使用 Grundwald-Letnikov 定义的分数导数和积分。 请参考： http ://www3.nd.edu/~msen/Teaching/UnderRes/FracCalc1.pdf (equ. 32 and equ. 36)

bp神经网络BP神经网络的logsig函数和其导数函数.m

matlab求导代码MultilevelCoordinateSearch 这是（MCS）的实现，这是Waltraud Huyer和Arnold Neumaier的算法，用于在可能有界的域上进行全局最小化。 在中，MCS在非商业算法中得分最高。 该实现是原始文档的“新鲜”实现，而不是基于所提供的Matlab代码。 状态：正在进行中。 直到完成为止（如果有的话），请检查我的。

https://blog.csdn.net/weixin_44584198/article/details/129212457?csdn_share_tail=%7B%22type%22%3A%22blog%22%2C%22rType%22%3A%22article%22%2C%22rId%22%3A%22129212457%22%2C%22source%22%3A%22weixin_44584198%22%7D 国内的文章对于E类的分析往往限定于占空比为50%且严格满足0电压导数条件（ZVDS）。但是在实际的设计中我们可能需要设计占空比为其他数值的E类功放（降低导通角能提高效率性能），或者需要亚正常模式（不严格满足ZVDS条件）下的E类功放以提升其带宽性能。 然而，在高自由状态下的E类波形应该是怎么样的呢，其实在60年前就有学者给出了计算的的公式，但是其计算比较复杂且涉及各种方程的求解，在此我对其进行了分析，并写成了Matlab代码。

此提交是一组 m 文件，用于演示如何取任意函数的简单数值导数和 Hessian。 代码中的每一步都有文档记录。 包含一个测试脚本，用于计算测试函数的数值 Hessian 并将其与符号确定的结果进行比较（将数值点替换为符号 Hessian）。 梯度和 Hessian 函数支持不同的容差，并且还计算函数评估的数量，以便了解数值导数的成本。 测试脚本需要符号数学工具箱。

一阶和二阶复阶导数近似。 cdiff(F,X) 返回在 X 处计算的函数 F 的一阶导数近似值。 F 是具有单个输入参数的函数句柄，它返回与浮点数组 X 具有相同维度的输出。 灵感来源： http : //blogs.mathworks.com/cleve/2013/10/14/complex-step-differentiation/