复变函数与积分变换 哈工大 课件

复变函数与积分变换是数学领域的一个重要分支，主要研究复数域上的解析函数以及相关的积分理论。在哈尔滨工业大学的课程中，这个主题通常包括了复数、复分析基础、柯西积分公式、留数定理、洛朗级数、保形映射等多个核心概念。 1. **复数**：复数是由实部和虚部构成的数，形式为a + bi，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i² = -1。复数的运算遵循加减乘除的规则，且有共轭复数的概念。 2. **复分析基础**：复变函数是定义在复平面上的函数，它将一个复数映射到另一个复数。复分析主要探讨这类函数的性质，如连续性、可微性、解析性等。解析函数是复平面上处处可微的函数，具有泰勒展开式。 3. **柯西积分公式**：这是复变函数理论中的基石，表明在一个简单闭曲线上的积分可以转化为围成该曲线的区域内函数值的积分，为解决复积分问题提供了强大工具。 4. **留数定理**：留数定理是复积分的重要应用，它揭示了函数在孤立奇点处的留数与其沿包围该奇点的闭合曲线积分之间的关系。这个定理对于计算复积分非常有用，尤其是当积分路径不可直接求解时。 5. **洛朗级数**：复变函数在某些点周围可能不能展开为幂级数，但可以扩展为洛朗级数，包括了正幂项和负幂项。洛朗级数的应用包括解析延拓和留数计算。 6. **保形映射**：如果一个复变函数在某区域内的导数非零，则称其为保形映射。保形映射保持了角度和方向，可以用来简化复杂形状的区域，对于工程和物理问题有实际应用价值，如地图制作和流体力学。 7. **积分变换**：在复变函数与积分变换中，傅里叶变换、拉普拉斯变换等是重要的工具，它们能够将复杂问题转化为更易于处理的形式。这些变换在信号处理、电磁学、振动分析等领域有着广泛的应用。 哈尔滨工业大学的课件可能涵盖了以上内容，并通过实例、习题和讲解帮助学生深入理解和掌握复变函数与积分变换的理论与应用。文件"9be1f8412c8749e3b8e73b3048f93203"可能是这门课程的课件资料，包含了讲义、习题解答、案例分析等内容，对学习者来说是一份宝贵的参考资料。通过仔细研读这些课件，学生可以提升对复变函数与积分变换的理解，加强理论与实践的结合。