Rabinowitz＇s Saddle Point Theorem and Periodic Solutions of Singular Hamiltonian Systems

Rabinowitz鞍点定理是一种在数学特别是变分法和临界点理论中应用广泛的一个重要工具，尤其在研究Hamilton系统中的周期解问题时发挥着关键作用。在这篇论文中，作者张世清通过应用Rabinowitz鞍点定理，探讨了一类奇异二阶Hamilton系统的存在性问题。这些系统由于其奇异性质，给研究带来了许多困难。特别是当系统没有对称性时，要证明(PS)+条件变得尤为复杂。 让我们来了解一下什么是Hamilton系统。Hamilton系统是一类动态系统，可以用Hamilton函数来描述系统的总能量，即势能和动能之和。Hamilton系统在物理学中有广泛的应用，如在经典力学、量子力学以及天体力学等领域。而所谓的奇异Hamilton系统，则是指这类系统在某些点或某些区域会出现无法定义的情况，比如出现在势能函数的奇点处。 文章中提到的奇异二阶Hamilton系统的一般形式为二阶微分方程¨u=−V0(t,u)，其中V(t,x)为定义在Ω上的函数，并且是时间t的T-周期函数。系统参数的奇异性可能会导致其能量泛函在某些点上不具有可微性，这就使得寻找系统的周期解变得异常困难。 Rabinowitz鞍点定理则为这种困难提供了解决的途径。鞍点定理是基于临界点理论中的莫尔斯理论（Morse theory）发展起来的，它提供了一种寻找临界点（即Hamilton系统的解）的方法。鞍点定理的核心是（PS）条件，即对于一个给定的泛函序列，如果它们是有界的并且满足所谓的（PS）条件，则该泛函序列必有收敛的子序列。这里的（PS）条件是指所谓的Palais-Smale条件，它要求泛函在无穷远处有界并且满足水平集的紧性条件。 文章还提到了一些关于势能函数V(t,x)的条件，这些条件有助于确保寻找周期解过程中所必须的（PS）条件得到满足。具体来说，条件(V1)和条件(V2)至(V4)分别涉及了势能函数V(t,x)在原点附近以及无穷远处的行为。条件(V1)要求在原点附近存在一个区域，势能函数的梯度行为受某个函数控制。而条件(V2)到(V4)则分别描述了势能函数在无穷远处趋于无穷小、趋于无穷大或者既不趋于无穷小也不趋于无穷大的情况。 在满足这些条件的基础上，文章引用了之前研究者们得到的一些定理结果，比如Greco和Bahri-Rabinowitz的定理。这些定理为研究者提供了寻找非恒定的T周期C2解的方法，或者在特定条件下寻找唯一的非零解。 总结来说，Rabinowitz鞍点定理为研究者提供了一种强有力的工具，通过这个工具可以证明在特定条件下奇异Hamilton系统存在周期解。张世清在这篇论文中正是应用了这一理论，成功地为一类没有对称性的奇异Hamilton系统找到了新的周期解。这篇文章不仅是对Rabinowitz鞍点定理在Hamilton系统研究中应用的拓展，也进一步丰富了Hamilton系统理论的研究内容。