多元函数极值问题的分析与研究

在数学领域，多元函数极值问题是分析和研究函数在给定区域上可能达到的最小或最大值的课题。本篇论文《多元函数极值问题的分析与研究》由郭常予、徐玲、杨淑易慧三位作者撰写，发表于北京师范大学数学科学学院，并得到了本科生科研基金的资助。文章主要探讨了当Hessian判别法失效时，如何判定多元数值函数的极值问题，尤其是二元函数的情形。 在数学分析和优化理论中，Hessian矩阵是一个方阵，由多元函数的二阶偏导数组成，用于判断给定点处函数的极值性质。如果一个多元函数在其临界点处的Hessian矩阵是正定的，则该点是一个局部最小值点；如果Hessian矩阵是负定的，则为局部最大值点；若Hessian矩阵是不定的，则函数在该点没有极值。 论文首先介绍了多元函数极值问题的几何意义，并强调了Hessian判别法在某些特殊情况下失效的情形。在这些失效的情形下，论文提出了从几何角度引入的必要条件，并对二元函数的极值问题进行了详细的分析。这包括了对二元函数极值判别的几种方法的回顾，例如Fermat定理、极值判别法I和II，以及高阶判别法。 接着，作者详细讨论了Hessian判别法在二元函数情形下的应用，这涉及到Hessian矩阵正定、负定和不定的条件。通过分析，作者确定了在二元函数情形下，Hessian矩阵正定或负定时分别对应曲面位于切平面之上或之下的几何意义，以及不定性的情况。 文章也探讨了如何在Hessian判别法失效时寻找其他准则来判定极值问题，特别是介绍了一种特殊情况下通过多项式的惯性理论得到的极值判别法。这种方法通过分析多项式的正定性或负定性来判断函数的极值性质。 论文在一般多元函数的情形下推广了二元函数特殊情形下的研究结果，给出了更广泛的应用条件和结论。这部分内容涉及到了多项式的惯性理论以及Bezout矩阵的概念。Bezout矩阵是一种特殊的矩阵，与多项式方程组有密切关系，在数学和工程问题中都有广泛的应用。 通过这些理论工具，作者展示了如何分析和判定多元数值函数在复杂情况下的极值问题，为数学问题解决提供了更为丰富的工具和方法。这些研究成果不仅对数学理论研究有重要意义，也对实际应用问题的解决提供了新的思路和方法。