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Contents
Second Printing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
Etymology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii
Special Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
Chapter 1 Things Past . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Some Number Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Roots ofUnity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. Some Set Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Chapter 2 Groups I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2. Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3. Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4. Lagrange’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5. Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.6. Quotient Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.7. GroupActions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Chapter 3 Commutative Rings I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.2. First Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.3. Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.4. GreatestCommonDivisors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.5. Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.6. Euclidean Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.7. Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.8. QuotientRings andFiniteFields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
v
vi Contents
Chapter 4 Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.1. Insolvability of the Quintic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Formulas and Solvability by Radicals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Translation into Group Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.2. Fundamental Theorem of Galois Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Chapter 5 Groups II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.1. Finite Abelian Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
DirectSums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Basis Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Fundamental Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
5.2. The Sylow Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
5.3. The Jordan–H¨older Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
5.4. Projective Unimodular Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
5.5. Presentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
5.6. The Nielsen–Schreier Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Chapter 6 Commutative Rings II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
6.1. Prime Ideals and Maximal Ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
6.2. UniqueFactorizationDomains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
6.3. NoetherianRings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
6.4. Applications ofZorn’sLemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
6.5. Varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
6.6. Gr¨obner Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
Generalized Division Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
Buchberger’s Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
Chapter 7 Modules and Categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
7.1. Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
7.2. Categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
7.3. Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
7.4. Free Modules, Projectives, and Injectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
7.5. Grothendieck Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
7.6. Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
Chapter 8 Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
8.1. Noncommutative Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
8.2. ChainConditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
8.3. SemisimpleRings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
8.4. Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
8.5. Characters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605
8.6. Theorems of Burnside and of Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
Contents vii
Chapter 9 Advanced Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646
9.1. Modules over PIDs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646
9.2. Rational Canonical Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666
9.3. Jordan Canonical Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675
9.4. SmithNormalForms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682
9.5. Bilinear Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694
9.6. Graded Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714
9.7. Division Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727
9.8. Exterior Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741
9.9. Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756
9.10. Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772
Chapter 10 Homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781
10.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781
10.2. Semidirect Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784
10.3. General Extensions and Cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794
10.4. Homology Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813
10.5. Derived Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 830
10.6. Ext andTor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852
10.7. Cohomology of Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 870
10.8. Crossed Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887
10.9. Introduction to Spectral Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893
Chapter 11 Commutative Rings III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898
11.1. Local and Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898
11.2. Dedekind Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922
Integrality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923
Nullstellensatz Redux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931
Algebraic Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938
Characterizations of Dedekind Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948
Finitely Generated Modules over Dedekind Rings . . . . . . . . . . . . . 959
11.3. Global Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 969
11.4. Regular Local Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985
Appendix The Axiom of Choice and Zorn’s Lemma . . . . . . . . A-1
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-1
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1