2.6 消元法 = 因式分解：A = LU

学生们常说数学课太理论了。好吧，不过本节不是。本节几乎是纯实践的。目标是以最有用的方式 来描述高斯消元法。当你仔细观察时，许多关键的线性代数思想实际上都是矩阵的分解。原始矩阵 A 变成两个或三个特定矩阵的乘积。第一个因式分解——也是实践中最重要的——现来自于消元法。因 子 L 与 U 都是三角矩阵。源自消元法的因式分解是 A = LU。 我们已经了解了 U，其为主元在对角线上的上三角矩阵。消元步骤将 A 消为 U。我们将展示用一 个下三角的 L 是如何完成逆转这些步骤的（将 U 带回到 A）。L 的元素恰好是乘数 lij——即当它由行 i 减去时，主元行 j 的倍数。 从一个 2 × 2 例子开始。矩阵 A 包含 2, 1, 6, 8。要消去的数是 6。从行 2 减去 3 倍的行 1。该步 骤是前向消元中具有乘数 l21 = 3 的 E21。从 U 回到 A 的步骤是 L = E−1 21 （运用 +3 的加法）： A 前向消元至 U：E21A = [− 1 0 3 1] [2 1