Applied Mathematics in Integrated Navigation Systems

"The subject of integrated navigation systems covered in this book is designed for those directly involved with the design, integration, and test and evaluation of navigation systems. It is assumed that the reader has a background in mathematics, including calculus. Integrated navigation systems are the combination of an onboard navigation solution (position, velocity, and attitude) and independent navigation data (aids to navigation) to update or correct navigation solutions. In this book, this combination is accomplished with Kalman filter algorithms. This presentation is segmented into two parts. In the first part, elements of basic mathematics, kinematics, equations describing navigation systems/sensors and their error models, aids to navigation, and Kalman filtering are developed. Detailed derivations are presented and examples are given to aid in the understanding of these elements of integrated navigation systems. Problems are included to expand the application of the materials presented. The third edition includes additional background material, exercises and software. The added material includes: development of general form for Earth's gravitational potential with simplification to an ellipsoid model; development of satellite orbital equations for position and velocity and the impact of non-spherical earth gravitation on satellite orbital parameters; and illustrations in the development of derivative free Kalman filters including the Unscented and Divided Difference filter forms. Additional exercises are included that expand and supplement the material in the text and demonstrate properties of the Kalman filter. Additional software is included in this edition for simulating random processes and derivative free filter implementations. This edition provides a more complete foundation for addressing the different aspects of integrated navigation systems." ### 应用数学在综合导航系统中的应用 #### 基础数学与导航系统理论 在本书的第一部分，作者深入探讨了基础数学、动力学、描述导航系统/传感器及其误差模型的基本方程、辅助导航技术和卡尔曼滤波算法。这些章节为理解综合导航系统的各个方面提供了必要的数学工具。 **基础数学**：这部分内容主要介绍了数学分析的基础，包括微积分、线性代数和概率论等。这些数学工具是后续章节中理解和开发导航系统的基础。 **动力学**：本书还讨论了导航平台的动力学特性，包括位置、速度和姿态的数学描述，这对于理解如何精确测量和预测运动状态至关重要。 **导航系统和传感器**：这部分内容涉及各种导航传感器（如惯性测量单元IMU、全球定位系统GPS等）的工作原理及误差模型。通过对这些设备的深入理解，可以更好地整合来自不同来源的数据以提高整体导航性能。 **辅助导航技术**：除了内置的导航解决方案外，外部数据（例如地标、无线电信号等）对于校正和增强导航精度同样重要。本节介绍了一些常用的辅助导航方法和技术。 **卡尔曼滤波**：卡尔曼滤波是一种广泛应用于信号处理和控制工程中的统计预测方法。它是本书的核心内容之一，用于结合来自多个源的信息以获得更准确的位置估计。 #### 卡尔曼滤波算法的发展 第二部分着重于卡尔曼滤波算法的发展和应用。通过详细的推导和实例分析，读者可以深入了解卡尔曼滤波的基本原理及其在实际导航系统中的实现。 - **卡尔曼滤波基本原理**：介绍了卡尔曼滤波器的设计原理、工作流程以及如何利用它来优化导航系统的性能。 - **高级卡尔曼滤波技术**：探讨了非线性卡尔曼滤波方法，如扩展卡尔曼滤波器（EKF）、无迹卡尔曼滤波器（UKF）和分裂差分卡尔曼滤波器（DDF），这些方法能够处理更为复杂的情况。 #### 第三版新增内容 第三版增加了更多背景材料、练习和软件资源，旨在提供更加全面的学习体验。 - **地球引力场建模**：开发了一般形式的地球引力势能，并简化为椭球模型，这有助于更好地理解地球对卫星轨道的影响。 - **卫星轨道方程**：详细推导了考虑非球形地球引力作用下的卫星位置和速度方程。 - **无梯度卡尔曼滤波器**：通过示例展示了无梯度卡尔曼滤波器（如无迹卡尔曼滤波器和分裂差分滤波器）的开发过程，这些滤波器适用于无法解析计算雅可比矩阵的情况。 - **补充练习和软件**：新增了多个练习题，帮助读者加深对卡尔曼滤波的理解，并提供了用于模拟随机过程和无梯度滤波器实现的软件工具。 #### 结论 《应用数学在综合导航系统中的应用》这本书为从事导航系统设计、集成和测试评估的专业人士提供了宝贵的参考资料。通过结合数学理论、动力学分析和先进的滤波技术，本书不仅为理解现代导航系统的工作原理提供了坚实的基础，还为解决实际工程问题提供了实用的方法和工具。无论是对于初学者还是有经验的研究人员来说，这本书都是一份不可或缺的指南。