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凸函数的例 例2.1.3 设f (x)=(x–1)2,试证明f(x)在(–∞,+∞)上是严格凸函数. 证明:设x,y∈ R,且x≠y, a∈(0,1)都有 f (ax+(1-a)y)-(a f (x) +(1-a)f (y)) =(ax+(1-a)y-1)2-a (x-1)2-(1-a) (y-1)2 = –a (1-a)(x-y)2<0 因此f(x)在(–∞,+∞)上是严格凸函数. 例2.1.4 线性函数f (x)=cTx=c1x1+c2x2+···+cnxn 既是Rn上凸函数也是Rn上凹函数.

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