【典型例题】5.2.2(7) 平面梁单元形状函数的性质
平面纯弯梁单元如图 5-4 所示。
图 5-4 平面纯弯梁单元的节点位移及节点力
该单元的位移函数为
( ) 1 1 2 1 3 2 4 2v x N v N N v Nθ θ= + + +
= Nq (5-25)
其中 为形状函数矩阵，1 2 3 4[N N N N=N ] ]1 1 2 2[
Tv vθ θ=q 为节点位移列阵。
试讨论该形状函数矩阵的性质。
解答：梁单元的节点位移列阵中既包含有对应于 问题的位移(即线位移 )又包含有
对应于 问题的位移(即转角
0C 1 2[v v ]
]1C 1 2[θ θ )，因而使得该单元的形状函数和刚度矩阵系数的性质
和一般 问题不一样，变得更为复杂；下面考察梁单元作刚体运动的过程。 0C
由于该单元是只有挠度和转角的纯弯梁，所以只考虑三种情形下的刚体位移：沿垂直方
向的刚体平动、绕左端点的刚体转动、一般性刚体运动，分别在这三种情形下，讨论形状函
数矩阵和刚度矩阵的性质。
case 1：沿垂直方向的刚体平动
(a) 梁单元在垂直方向的刚体平动 (b) 梁单元绕节点 1 的刚体转动
图 5-5 梁单元的刚体位移
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