6.4 标准型与准标准型
由命题 6.4 给出的局部坐标变换(6.25)可将非线性系统(6.4)变换成(6.26),实际上(6.26)
式具有某种标准的形式,即这些新坐标的选择使得描述系统的方程具有很规则的结构形式,
称为 Byres-Isidori 标准型。
下面推导系统(6.4)在新坐标下的表达式(6.26)的具体描述。对于 1, , rz z ,有
1 1
2
2
d d d
d d d
( ( )) ( ( ))
( )
f
z x h x
t x t x t
L h x t x t
z t
φ
φ
∂ ∂
= =
∂ ∂
= =
=
2
1 1
1
( ( ( )))d d d
d d d
( ( )) ( ( ))
( )
r
fr r
r
f r
r
L h x tz x x
t x t x t
L h x t x t
z t
φ
φ
−
− −
−
∂∂
= =
∂ ∂
= =
=
对于 rz ,有
1d ( ( )) ( ( )) ( )
d
r rr
f g f
z
L h x t L L h x t u t
t
−= + (6.27)
将坐标由 ( )x t 转换为 ( )z t ,即将 1( ) ( ( ))x t z t−= Φ 代入式(6.27),并令
1 1
1
( ) ( ( ))
( ) ( ( ))
r
g f
r
f
a z L L h z
b z L h z
− −
−
= Φ
= Φ
则式(6.27)可重写为
d
( ( )) ( ( )) ( )
d
rz b z t a z t u t
t
= +
根据定义在点 0 0( )z x= Φ 处, 0( ) 0a z ≠ ,从而对于 0z 的某一个邻域内的所有 z , ( ( ))a z t 不
为零。
对于其它的新坐标,如果没有给出其它信息,无法知道相应得方程组的任何特定结构。
如果选择 1( ), , ( )r nx xφ φ+ 使得(6.22)式成立,则有
d
( ( ( )) ( ( )) ( ))
d
( ( )) ( ( )) ( )
( ( ))
i i
f i g i
f i
z
f x t g x t u t
t x
L x t L x t u t
L x t
φ
φ φ
φ
∂
= +
∂
= +
=
(6.28)
令
1( ) ( ( )), 1i f iq z L z r i nφ
−= Φ + ≤ ≤ ,则(6.28)式可重写为
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