总结了完备黎曼流形上完备的无共轭点测地线所隐含的几何性质、完备非紧具非负曲率黎曼流形的几何结构、完备非紧具非负Ricci曲率黎曼流形的几何拓扑性质以及完备非紧黎曼流形上的Busemann函数所隐含的几何拓扑性质，并提出了一些未解决的问题．

从连续性，积分的可加性，积分的极限定理，牛顿莱布尼兹公式，五个方面比较了黎曼积分与勒贝格积分的区别和联系。

MATLAB求四次解解的代码eSPH eSPH 是一个用 MATLAB 编写的简单、轻量级的 2D SPH 代码。 该方法基于高阶、低耗散的黎曼求解器 SPH 架构。 这是恩森在伦敦帝国理工学院攻读硕士学位的最后一年项目的一部分。 请参阅我的（即将推出）以获取更多信息和参考资料。 依赖关系 代码仅使用此存储库中的函数和 MATLAB 内置函数。 下载后记得把所有成员函数放在eSPH.m目录eSPH.m 。 要启用并行计算，请确保安装在您本地的 MATLAB 中。 当前版本的代码已使用 MATLAB 2019a 进行测试。 请报告与较新 MATLAB 版本的任何冲突。 输入/输出 输入 该代码通过调用函数eSPH("$FNAME.mat") 。 输入.mat文件包含以下内容（必须使用准确的名称）： Nx11 双阵列fluid ： 入口 范围 fluid(:,1) x坐标 fluid(:,2) y坐标 fluid(:,3) 密度 fluid(:,4) 质量（在整个模拟过程中保持不变） fluid(:,5) 压力 fluid(:,6) x 速度 fluid(:,7) y-速度 fluid(:

该资源适合数学系的高年级学生，是数论的重要分支。

是卢昌海先生在网站上公开的资源，包括关于2018年中秋节那天阿蒂亚爵士宣布解决了黎曼猜想的评论。因资源相对较分散，这是整理后的合集，便于有兴趣的同学了解与学习。

matlab最短代码geometric_ml 该存储库包含： Matlab代码（未维护） Python代码 将黎曼几何应用于机器学习。 构造黎曼度量。 计算最短路径。 拟合LAND模型 以下论文提出了大多数方法： “局部自适应正态分布”，G。Arvanitidis等。 等，NeurIPS 2016 G. Arvanitidis等人，“潜在空间奇数：关于深度生成模型的曲率”。 at。，ICLR 2018 G. Arvanitidis等人，“数据学习流形上的快速且鲁棒的最短路径”。 等，AISTATS 2019 该代码仅出于研究目的而发布。 如果您使用本代码库的某些部分，请引用相应的论文。

作者简介 陈维桓，北京大学数学科学学院教授，博士生导师。1964年毕业于北京大学数学力学系，后师从吴光磊先生读研究生。长期从事微分几何方向的研究工作和教学工作，开设的课程有“微分几何”、“微分流形”、“黎曼几何引论”和“纤维丛的微分几何”等。已出版的著作有：《微分几何讲义》（与陈省身合著），《黎曼几何选讲》（与伍鸿熙合著），《微分几何初步》，《微分流形初步》和《极小曲画》等。

黎曼曲面导引 出版时间：2013年版 丛编项： 北京大学现代数学丛书 内容简介 　　《黎曼曲面导引/北京大学现代数学丛书》介绍黎曼曲面的基本理论.对于一般黎曼曲面主要讨论单值化定理，对于紧致黎曼曲面则主要围绕Riemann-Roch公式的证明和应用展开讨论。全书共分五章，第一章介绍复分析中的一些预备知识并证明Riemann映照定理，第二章利用Perron方法给出单连通黎曼曲面的分类，即单值化定理，第三章给出Riemann-Roch公式的经典证明，并讨论这个公式的大量应用，第四章引入全纯线丛，层和层的上同调的概念，并利用这些概念重新将Riemann-Roch公式解释为一个指标公式.第五章讨论黎曼曲面以及全纯线丛上Hermite度量的几何性质，并介绍Hodge定理，对偶定理和消没定理.这些定理都可以推广到高维的复流形上.《黎曼曲面导引/北京大学现代数学丛书》结合了几何和分析的观点，语言简洁，内容丰富，适合自学.在引进抽象的概念时，往往辅以许多具体的实例来说明问题.掌握了黎曼曲面上的这些抽象概念以后读者可以自然地过渡到一般复流形的学习，同时，《黎曼曲面导引/北京大学现代数学丛书》可以作为研究复几何和代数几何相关领域的入门读物， 目录 第一章 Riemann映照定理 §1.1 Schwarz引理 §1.2 调和函数 §1.3 Riemann映照定理 第二章 单值化定理 §2.1 黎曼曲面的定义 §2.2 Poincare引理 §2.3 亚纯函数与亚纯微分 §2.4 Perron方法 §2.5 单值化定理 第三章 Riemann-Roch公式 §3.1 因子 §3.2 Hodge定理 §3.3 Riemann-Roch公式 §3.4 若干应用 §3.5 Abel-Jacobi定理 第四章 曲面与上同调 §4.1 全纯线丛的定义 §4.2 因子与线丛 §4.3 层和预层 §4.4 层的上同调 §4.5 上同调群的计算 §4.6 Euler数 第五章 曲面的复几何 55.1 Hermite度量 §5.2 线丛的几何 §5.3 线丛的Hodge定理 §5.4 对偶定理 §5.5 消没定理 §5.6 线丛的陈类 附录A 三角剖分和Euler数 附录B Hodge定理的证明 参考文献 名词索引

Matlab 求解偏微分的代码SW_riemann_problem 流体深度 h(x,t) 流体速度 u(x,t) 浅水方程黎曼问题的精确解：稀疏波、冲击和接触不连续性 介绍 该存储库包含一些关于具有平底地形的一维浅水方程 (SWE) 的黎曼问题的 MATLAB 代码和文档。 SWE 是保守双曲偏微分方程 (PDE) 的非线性系统。 该系统存在黎曼问题的精确解，包括冲击波和中心稀疏波的不同组合。 所考虑的经典问题是所谓的溃坝问题，其中水流最初处于静止状态（零速度），水深 h 具有阶梯不连续性，并随着左稀疏波和右激波演变（见上图；图 1）。 2 在肯特，2013 年）。 然后将该系统扩展为一维对称系统，其中 y 方向上的空间变化在领先阶次被忽略。 包含子午线速度，其作用类似于示踪剂，在解决方案中表现为接触不连续性，它将流体分成两个不同子午线速度的区域。 解决黎曼问题是实施 (Godunov) 有限体积数值方案和其他现代数值逆风方案（见，例如，）的基本要素。 解决 SW 黎曼问题：简而言之 解决黎曼问题的一般策略如下（在 LeVeque，2002 之后，并在 Kent，2013 中详述）：

黎曼几何演说中，黎曼关于几何基础中的假设原文，数学几何拓扑基础