中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 1.1节
线性组合在这个学科中非常重要！有时我们想要一个特定的组合，具体选择 c = 2 和 d = 1 来产
生 cv + dw = (4, 5)。其它时候我们想要 v 与 u 的所有组合（来自所有的 c 与 d）。
向量 cv 沿一条直线放置。当 w 不在那条直线上时，组合 cv + dw 充满整个二维平面。从四维空
间中的 4 个向量 u, v, w, z 开始，它们的组合 cu + dv + ew + fz 可能充满整个空间——但并不总是
这样。向量和它们的组合可能位于一个平面上或一条直线上。
第 1 章解释了这些中心思想，一切都建立在这些思想上。我们从能够合理绘制的二维向量与三维
向量开始。然后我们移入更高的维度。线性代数真正令人印象深刻的特点是如何流畅地将这一步引入 n
维空间。即使不可能画出十维的向量，你脑海中的画面也会保持是正确的。
这是本书将要通往的地方（进入 n 维空间）。第一步是 1.1 节和 1.2 节的运算。然后是在 1.3 节概
述了 3 个基本思想。
2022-07-14 16:08:55
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教程介绍
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中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 8.3节
1 使用新输入基 Bin 与新输出基 Bout，每个矩阵 A 变成 B
−1
out ABin。
2 Bin = Bout =“A 的广义特征向量”得出若尔当型 J = B−1AB。
3 傅里叶矩阵 F = Bin = Bout 将每个循环矩阵对角化（利用 FFT）。
4 正弦与余弦，勒让德与切比雪夫多项式：这些都是函数空间很好的基。
这是本书重要的一节。我担心大多数读者会跳过他——或读不到这里。前几章通过解释基底的概念做
了铺垫。第 6 章介绍了特征向量 x 以及第 7 章找出了奇异向量 v 与 u。这两个是赢家，但其它许多选
择是很有价值的。
首先是 8.2 节的纯代数，然后是优良基。输入基向量将是 Bin 的列。输出基向量将是 Bout 的列。
Bin 和 Bout 总是可逆的——基向量均无关！
纯代数 若 A 是变换 T 在标准基下的矩阵，则
B−1
out ABin是在新基下的矩阵。 (1)
标准基向量为单位矩阵的列：Bin = In×n 与 Bout = Im×m。现在
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