### 概率导论 #### 一、章节概述与背景介绍 本章主要介绍了离散概率分布的基础概念，包括概率的基本定义、随机变量的概念以及如何为一个特定的实验分配概率等。这部分内容对于理解更复杂的概率理论至关重要。 #### 二、离散概率分布 ##### 1.1 模拟离散概率 在这一节中，作者首先探讨了有限可能结果的实验。例如掷骰子，可能的结果有六个：1、2、3、4、5、6，对应于骰子朝上的面；又如抛硬币，可能的结果有两种：正面（Heads）和反面（Tails）。 为了方便数学表达，我们可以定义随机变量来表示实验的结果。例如，在四次掷骰子的过程中，我们可以定义四个随机变量 \(X_1, X_2, X_3, X_4\) 来表示每次掷骰子的结果，那么这四次掷骰子的总和就可以表示为 \(X_1 + X_2 + X_3 + X_4\)。 **随机变量**是一种特殊的数学表达方式，其值代表一个特定实验的结果。随机变量可以取不同的值。 假设 \(X\) 是一个表示单次掷骰子结果的随机变量，我们需要为每个可能的结果分配概率。通常情况下，我们会为每一个结果 \(\omega_j\) 分配一个非负数值 \(m(\omega_j)\)，使得所有结果的概率之和等于1： \[m(\omega_1) + m(\omega_2) + \cdots + m(\omega_6) = 1\] 对于掷骰子这个例子，我们通常会将每种结果的概率设为相等，即 \(\frac{1}{6}\)。这样，我们可以说“掷出的骰子值不超过4”的概率是 \(\frac{2}{3}\)： \[P(X \leq 4) = \frac{2}{3}\] **分布函数** \(m(\omega_j)\) 描述了随机变量 \(X\) 的概率分布情况。 ##### 1.2 硬币抛掷实验 接下来，考虑抛硬币的实验。假设 \(Y\) 是一个表示抛硬币结果的随机变量，有两种可能的结果：正面（\(H\)）和反面（\(T\)）。如果没有理由怀疑硬币偏向其中任何一面，则自然地给每种结果分配相同的概率 \(\frac{1}{2}\)。 #### 三、非等概率分配实例 在某些情况下，并不是所有的结果都有相等的概率。例如，如果某种药物被证明在30%的情况下有效，则我们可以假设该药物下次使用时有效的概率为0.3，无效的概率为0.7。这反映了概率的直观频率概念。 #### 四、小结 本章通过具体的实验案例（如掷骰子、抛硬币），介绍了概率的基本概念、随机变量的定义以及如何为不同的实验结果分配概率。这些基础知识对于后续学习概率论和统计学至关重要。通过理解和应用这些概念，读者可以更好地分析实际问题中的不确定性和变化性。

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概率导论 第2版修订版（答案与勘误），概率导论是很好的一本概率书籍，机器学习方向很好的学习和参考读物。

本书是在MIT开设概率论入门课程的基础上编写的，其内容全面，例题和习题丰富，结构层次性强，能够满足不同读者的需求。书中介绍了概率模型、离散随机变量和连续随机变量、多元随机变量以及极限理论等概率论基本知识，还介绍了矩母函数、条件概率的现代定义、独立随机变量的和、最小二乘估计等高级内容。本书可作为所有高等院校概率论入门的基础教程，也可作为有关概率论方面的参考书。

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MIT概率导论公开课的配套教材的课后习题答案，introduction to probability 2ed, 作者Dimitri P. Bertsekas and John N. Tsitsiklis

概率导论（第2版）-[美]迪米特尔·P·博赛克斯-人民邮电出版社