证明最长公共子序列问题满足最优性原理。-动态规划讲义

动态规划算法

证明最长公共子序列问题满足最优性原理。设序列X={x1, x2,…, xm}和Y={y1, y2,…, yn}的最长公共子序列为Z={z1, z2,…, zk}，记Xk为序列X中前k个连续字符组成的子序列，Yk为序列Y中前k个连续字符组成的子序列，Zk为序列Z中前k个连续字符组成的子序列，显然有下式成立：（1）若xm=yn，则zk=xm=yn，且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列；（2）若xm≠yn且zk≠xm，则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列；（3）若xm≠yn且zk≠yn，则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。可见，两个序列的最长公共子序列包含了这两个序列的前缀序列的最长公共子序列。

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