Multiple Periodic Solutions for Discrete Hamiltonian Systems

本文的研究主题是关于离散哈密顿系统（Discrete Hamiltonian Systems）多重周期解的存在性问题。哈密顿系统在物理学中广泛出现，尤其是在经典力学和量子力学中。离散哈密顿系统是连续哈密顿系统的离散化版本，它在数学、物理和工程学等领域有着广泛的应用。 为了探讨这个问题，作者庾建设和宾红华采用了Morse理论作为主要的数学工具。Morse理论由美国数学家马斯顿·莫尔斯（Marston Morse）提出，是一种用于研究流形上的拓扑性质和微分方程解的理论，它基于临界点理论，将流形的拓扑性质与其上的函数的临界点联系起来。 文章主要讨论了离散哈密顿系统的非线性项在无穷远处是渐近线性或者超线性两种情况下，多重周期解的存在性。渐近线性意味着随着变量趋于无穷大时，非线性项的行为类似于线性项；而超线性则意味着非线性项的增长速度超过线性项。 在研究中，作者建立了一个离散哈密顿系统的模型方程，表示为： ∆u1(n) = −Hu2(n,u1(n+1),u2(n)), ∆u2(n) = Hu1(n,u1(n+1),u2(n)), 其中u1,u2属于RN（N为正整数），∆ui(n)表示ui(n+1)与ui(n)的差分，i=1,2。研究中假设函数H在第一变量中是T周期的，在第二变量u1和第三变量u2中是C2类的光滑函数。 文章还提到了其他作者对于离散哈密顿系统的研究成果。例如，Ahlbrandt和Peterson等人研究了边界值问题；Guseinov和Kaymakcalan等人通过Lyapunov不等式研究了离散共轭性质和稳定性准则；Bohner等人探讨了离散哈密顿系统的特征值问题、离散共轭性质以及Sturm定理等。这些研究工作虽然各有贡献，但关于离散哈密顿系统周期解问题的研究却不多。 为了解决这一问题，庾建设和宾红华采用了极小极大理论（minimax theory）来获得离散哈密顿系统周期解和亚周期解的存在性，最近的成果发表在相关的研究文献[15]中。极小极大理论是一种变分方法，它被用来寻找泛函的临界点，特别是极值点。 文章还提到了研究得到了中国国家自然科学基金和广东省自然科学基金的支持。这意味着研究工作的开展得到了国家和地方科研资金的资助，这些基金通常支持具有重要科学意义和应用前景的基础研究项目。 本文通过运用Morse理论和极小极大理论，重点探讨了在离散哈密顿系统中，非线性项的不同性质下多重周期解的存在性问题。这不仅丰富了离散哈密顿系统理论的研究，也对离散动力系统的稳定性和周期性问题提供了新的研究方法和理论支持。此外，文章也体现了在这一领域中国科学家的贡献，并展示了该领域的研究趋势。