第2章 数值积分-21

【数值积分】是数学计算中的一个重要领域，它用于求解函数在特定区间内的积分值，因为许多实际问题中，解析求解积分是非常困难或者不可能的。本章主要讲解了多种数值积分方法，包括机械求积、牛顿-柯特斯公式、龙贝格算法、高斯公式以及数值微分。 【机械求积】是数值积分的基础方法，通过将积分区间划分为多个小段，并对每个小段应用简单的几何形状（如矩形、梯形或三角形）来估算其面积，进而近似整体的积分值。 【牛顿-柯特斯公式】是一种基于多项式插值的数值积分方法，它利用函数在区间端点的值构造一个多项式，然后计算这个多项式的积分，以此来近似原函数的积分。不同阶的牛顿-柯特斯公式对应于不同次数的多项式，通常情况下，阶数越高，近似精度也越高。 【龙贝格算法】是一种递归的数值积分方法，特别适用于广义积分和无穷区间上的积分。它通过逐步增加区间数目和调整权重来提高积分的精确度。 【高斯公式】是基于特定节点的多项式插值，如 Legendre-Gauss 公式，利用特定节点上的高次多项式来精确积分，这些节点的选择使得插值多项式能更好地逼近原函数，从而提高积分的精确性。 【数值微分】是在无法直接求导或导数难以表达的情况下，通过计算函数值的差商来近似导数值。差商分为向前差商、向后差商和中心差商，其中中心差商通常被认为是最稳定且精度较高的方法，因为它更接近函数在该点的切线斜率。误差分析表明，差商的截断误差随着步长h的减小而减小，但过小的h会引入较大的舍入误差。因此，选取合适的步长h是数值微分中的关键。 在实际应用中，需要根据问题的具体情况和计算资源来平衡精度和计算复杂性，选择合适的方法进行数值积分或数值微分。例如，对于给定的自变量和函数值，可以利用中心差商公式求得各点的导数值近似值，通过比较不同步长下的差商，可以评估和优化计算结果的准确性。