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上传时间: 2021-10-10 17:52:20
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代数学第三章部分习题答案
1. 证明在环 R 内,若 1− ab 可逆,则 1− ba 可逆.
证明:
a(1− ba) = a− aba = (1− ab)a
a = (1− ab)−1a(1− ba)
1− ba = 1− b[(1− ab)−1a(1− ba)] = 1− b(1− ab)−1a(1− ba)
(1− ba) + b(1− ab)−1a(1− ba) = 1
[1 + b(1− ab)−1a](1− ba) = 1
所以 (1− ba) 可逆,且 (1− ba)−1 = 1 + b(1− ab)−1a.
2. 设在环 R 中元素 u 有右逆,证明下列三条等价:
(1)u 有多于一个的右逆;
(2)u 是一个左零因子;
(3)u 不是单位.
证明:
(1)⇒(2):
由 u 有右逆知 u ̸= 0, 则 u1, u2 是 u 的右逆,u1 ̸= u2,则
u(u1 − u2) = uu1 − uu2 = 1− 1 = 0
而 u1 − u2 ̸= 0,故 u 是 u1 − u2 的左零因子.
(2)⇒(3):
假设 u 为单位,则 u 可逆. 对 ∀u3 ∈ R, u3 ̸= 0.
于是
u3 = 1 · u3 = u−1uu3 = u−1(uu3) ̸= 0
即 uu3 ̸= 0,故 u 不是左零因子,矛盾!因此 u 不是单位.
(3)⇒(1):
假设 u 只有一个右逆 u4,对 ∀r ∈ R, r ̸= u4, 均有
ur ̸= 1 = uu4
则 u(r − u4) ̸= 0. 由 r 的任意性知 u 不是左零因子. 而
u(1− u4u) = u− uu4u = u− u = 0
因此 1 − u4u = 0,即 u4u = 1,所以 u4 是 u 的左逆,于是 u 是单位,矛盾!
所以 u 有多于一个的右逆.
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