数值计算方法 MATLAB实验 实验报告 01 列主元消去法 含全部源代码.pdf

实验一 列主元消去法 【实验内容】 1. 理解高斯顺序消去法； 2. 理解主元高斯消去法在求解精度上的优点； 3. 完成列主元消去法的程序； 4. 会用系统内置命令求解有唯一解的线性方程组； 【试验方法与步骤】 一 、 回答下面的问题 1. 什么是线性方程组直接解法和迭代解法，各自的特点和使用问题类型是什么？ 2. LU 分解是直接解法还是迭代解法， L 、 U 矩阵的特点是什么，应用在哪些问题 中，请举例说明。 3. 给出一个舍入误差严重影响计算结果精度的例子，试着能否从多个角度说明产 生该问题的原因。 4. 迭代解法的收敛性有什么意义，收敛条件用什么判定？ 5. 给出例子，并说 明迭代收敛的速度。 二 、 完成下列计算，写出代码 1. 用 crame 法则、用 LU 分解函数、逆矩阵函数分别完成 P35 例 3.2.1 2. 编写列主元消去法程序，完成 P35 例 3.2.1 和习题 3 第 2 题 3. 用雅克比、高斯 塞德尔和 SOR 迭代完成习题 3 第 13 题，进行收敛速度的比较 分析 第 2 页 共 13 页 【实验结果】 一、第一大题 1.线性方程组的解法 2.LU 分解法 1. LU 分解属于直接解法 2. L 矩阵特点：一个对角线上的元素全为1 的下三角矩阵（即单位下三角矩阵）。 3. U 矩阵特点：上三角矩阵 4. 应用：LU 分解主要应用在数值分析中，用来解线性方程、求反矩阵或计算行列式 解法 直接解法 迭代解法 定义 经过有限步算数运算，可求得方程组 的精确解的方法 用某种极限过程逐步逼近线性 方程组精确解的方法 特点 运算步骤有限、可得精确解 极限逼近思想 适用问 题类型 计算过程中没有舍入误差 向量值序列收敛于向量* x 即 *) ( limx x k k = → 举例    − = + = 3 20 26 5 2 8 x y x y    = − = = = = −    − = + = * 1 * 2 53 106 2, 1 3 20 26 50 20 80 y x x x y x y x y 即有精确解 ，所以 两式相加，得    − = + = 3 20 26 5 2 8 x y x y , 0,1,2,... 0.15 1.3 0.4 1.6 ( 1) ( ) ( 1) ( ) =     = − = − + + + k y x x y k k k k 改写为迭代公式 其结果不断逼近精确解 然后不断迭代， 取 0,得 1.6, -1.3, (0) (0) (1) (1) x = y = x = y = 第 3 页 共 13 页 3.舍入误差严重影响计算结果精度的例子 建立 dx的递推公式 x x I n n  + = 1 0 5 （教材第二页） 法1：      − = − = − 1 0 5 1 5 ln 6 ln n In n I I 法2： 由0  In  In − 1,得5In − 1  In +5In − 1  6In − 1      = − +    =  +    + =    − − − n I I I I n I n n I I n n n n n 5 1 5 1 0.0087301587 0.0087301587 2 1 ) 5 21 1 6 21 1 ( 5 1 6 1 0 1 5 1 20 20 将 1 带入上式，得 1 由于计算机只能存储有限位小数，所以在法1 中，随着n 的增大，其误差就会越来 越大，最后很大程度的偏向精确解；但是在法2 中尽管20 I 取得比较粗略，但是随着n 的增大，其误差随传播逐步缩小，所以其最后计算得到的结果是可靠的。 4.迭代解法的收敛性 迭代解法 的收敛性 意义 无线逼近精确解，便于在计算机上实现编程 收敛条件的 判定 向量值序列收敛于向量x * 即 * ( ) limx x k k = → 第 4 页 共 13 页 5.举例说明迭代收敛的速度 分别用雅可比迭代法(J)、高斯—塞德尔迭代法(G-S)、超松弛迭代法(SOR)计算方组 =            − − − − 0 1 4 1 4 1 4 1 0           3 2 1 x x x =   10 8 10 雅可比迭代 高斯—塞德尔迭代 次 数 X1 X2 X3 误差 次数 X1 X2 X3 误差 1 2.5000 2.0000 2.5000 2.1594954 1 2.5000 2.6250 3.1563 1.4570586 2 3.0000 3.2500 3.0000