计算机视觉中的多视图几何三D射影几何和变换.pptx

在计算机视觉领域，多视图几何以及3D射影几何和变换是构建真实世界与数字世界之间桥梁的基础理论。本篇文档详细探讨了这些领域的核心概念，提供了深入的解释和数学表达，以帮助理解空间关系和几何结构如何被计算机视觉系统所捕捉、解释和利用。 文档从直线的齐次表达开始，引入了射影空间的概念。直线的一般方程形式为 ax+by+c=0，其中 (a,b,c) 被视为矢量，并且 (ka,kb,kc) 表示的是同一个直线，因为它们之间只存在全局缩放因子的不同。这种关系定义了一个等价类，称之为齐次矢量。在二维欧几里得空间 IR² 中，所有这样的等价类构成了射影空间 IP²。 接着，文档解释了点与直线的齐次表达，如何通过引入齐次坐标来描述点，并用内积形式来表达点直线的关系。例如，点的齐次表达为 x=(x1,x2,x3)'，而它们的关系可以由内积 ax+by+c=0 来定义。 文档进一步阐述了理想点与无穷远线的概念。在射影几何中，平行线的交点在无穷远的地方，形成了所谓的理想点或无穷远点。IR² 可以被扩展为包括所有 x3!=0 的点的集合，与 x3=0 的点一起构成了射影空间 IP²。无穷远线可以看作是平面上所有直线方向的集合。 文档还探讨了点与射影变换的关系，在二维射影几何和三维射影几何中分别说明了点的表达和变换。在 2D 射影几何中，点的齐次表达为 (X,Y,1)，而在 3D 射影几何中，点需要使用四维矢量来表达。文档还描述了平面、直线和二次曲面的表达及其变换，包括平面的齐次化处理和直线的表达方法。 文档最后介绍了平面、直线和二次曲面的联合与关联关系，例如通过三个点来确定一个平面，或两平面相交于一条直线等。此外，还有射影变换的介绍，包括点变换和随之而来的平面变换，以及如何用矩阵来表达平面和点的关系。 整个文档通过严谨的数学定义和推导，详细解释了多视图几何和射影几何在计算机视觉中的应用，使得读者能够深入了解这些理论如何被用来处理和解释三维空间中的图像和物体。这些知识构成了计算机视觉的基石，对于发展更为高级的视觉系统至关重要。