用动态规划法求解资源分配问题

实验课程：算法分析与设计 实验名称：用动态规划法求解资源分配问题 （验证型实验） 实验目标： （1）掌握用动态规划方法求解实际问题的基本思路。 （2）进一步理解动态规划方法的实质，巩固设计动态规划算法的基本步骤。 实验任务： （1）设计动态规划算法求解资源分配问题，给出算法的非形式描述。 （2） 在Windows环境下用C 语言实现该算法。计算10个实例，每个实例中n=30， m=10， Ci j为随机产生于范围（0，103）内的整数。记录各实例的数据及执行结果（即最优分配方案、最优分配方案的值）、运行时间。 （3）从理论上分析算法的时间和空间复杂度，并由此解释相应的实验结果。 实验设备及环境： PC；C/C++等编程语言。 实验主要步骤： (1) 根据实验目标，明确实验的具体任务； (2) 分析资源分配问题，获得计算其最优值的递推计算公式； (3) 设计求解问题的动态规划算法，并编写程序实现算法； (4) 设计实验数据并运行程序、记录运行的结果； (5) 分析算法的时间和空间复杂度，并由此解释释相应的实验结果； 问题分析： 问题描述： 某厂根据计划安排，拟将n台相同的设备分配给m个车间，各车间获得这种设备后，可以为国家提供盈利Ci j(i台设备提供给j号车间将得到的利润，1≤i≤n，1≤j≤m) 。问如何分配，才使国家得到最大的盈利？ 算法基本思想： 本问题是一简单资源分配问题，由于具有明显的最优子结构，故可以使用动态规划求解，用状态量f[i][j]表示用i台设备分配给前j个车间的最大获利，那么显然有f[i][j] = max{ f[k][j–1] + c[i-k][j] }，0<=k<=i。再用p[i][j]表示获得最优解时第j号车间使用的设备数为i-p[i][j]，于是从结果倒推往回求即可得到分配方案。程序实现时使用顺推，先枚举车间数，再枚举设备数，再枚举状态转移时用到的设备数，简单3重for循环语句即可完成。时间复杂度为O(n^2*m)，空间复杂度为O(n*m)，倘若此题只需求最大获利而不必求方案，则状态量可以减少一维，空间复杂度优化为O(n)。