基于ECC签名的单片机实现

### 基于ECC签名的单片机实现 #### 概述 本文主要探讨了如何在51系列单片机上实现基于椭圆曲线密码体制（Elliptic Curve Cryptography, ECC）的数字签名算法。椭圆曲线密码体制作为一种先进的非对称加密技术，在保证相同安全级别的前提下，相比于传统的RSA等加密算法，ECC能够使用更短的密钥长度，从而带来更快的计算速度、更低的存储空间需求以及更好的硬件和软件兼容性。 #### 1. 椭圆曲线密码体制（ECC） ##### 1.1 椭圆曲线上的基本运算 **1.1.1 仿射坐标系下的基本运算** 在椭圆曲线密码体制中，椭圆曲线被定义在一个特定的有限域上。对于一个特征大于3的有限域K，椭圆曲线可以表示为： \[ E: y^2 = x^3 + ax + b, \quad a, b \in K, 4a^3 + 27b^2 \neq 0 \] 其中，\(E(K)\) 表示椭圆曲线E上的所有点构成的集合，包括无穷远点。这些点构成了一个有限的阿贝尔群。在仿射坐标系下，椭圆曲线上的点可以通过坐标(x, y)来表示。 **点加法**与**二倍点运算**是椭圆曲线密码体制中最基础的运算之一。具体地，对于两个不同的点 \(P=(x_1, y_1)\) 和 \(Q=(x_2, y_2)\) ，它们的加法运算可以通过如下公式进行： 1. **零点加法**：任何点P与零点O相加等于点P自身：\(P + O = P\)。 2. **负点运算**：每个点P都有唯一的负点-P，满足：\(P + (-P) = O\)。其中，\(-P\) 可以通过计算 \((-P) = (x_1, -y_1)\) 得到。 3. **不同点加法**：若 \(P \neq Q\) ，则有： \[ \lambda = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (\mod p) \] 其中，\(p\) 是椭圆曲线所在有限域的阶。 4. **相同点二倍运算**：当 \(P = Q\) 时，二倍点运算的公式为： \[ \lambda = \frac{3x_1^2 + a}{2y_1} (\mod p) \] **1.1.2 投射坐标系下的基本运算** 在实际应用中，为了减少有限域上的求逆运算，通常采用投射坐标系来表示椭圆曲线上的点。这种方法可以有效降低运算复杂度，提高效率。 假设椭圆曲线上的点在仿射坐标系下表示为 \(P=(x, y)\) ，则在投射坐标系下，该点可以表示为 \((X, Y, Z)\) ，其中 \(x = X / Z, y = Y / Z\) ，而 \(Z\) 不为零。 在投射坐标系下，点加法和二倍点运算的公式如下： - **点加法**：给定点 \(P=(X_1, Y_1, Z_1)\) 和 \(Q=(X_2, Y_2, Z_2)\) ，则它们的和 \(R = P + Q = (X_3, Y_3, Z_3)\) 可以通过以下公式计算得出： \[ \begin{aligned} & \lambda = (Y_2 Z_1 - Y_1 Z_2) (X_2 Z_1 - X_1 Z_2)^{-1} (\mod p) \\ & X_3 = (\lambda^2 - X_1 - X_2) Z_1 Z_2 (\mod p) \\ & Y_3 = (\lambda(X_1 - X_3) - Y_1 Z_2) Z_1 (\mod p) \\ & Z_3 = (X_2 Z_1 - X_1 Z_2) Z_1 Z_2 (\mod p) \end{aligned} \] - **二倍点运算**：给定点 \(P=(X_1, Y_1, Z_1)\) ，其二倍点 \(2P = (X_3, Y_3, Z_3)\) 可以通过以下公式计算得出： \[ \begin{aligned} & \lambda = (3X_1^2 + aZ_1^2) (2Y_1Z_1)^{-1} (\mod p) \\ & X_3 = \lambda^2 - 2X_1 (\mod p) \\ & Y_3 = \lambda(X_1 - X_3) - Y_1 (\mod p) \\ & Z_3 = 2Y_1Z_1 (\mod p) \end{aligned} \] #### 2. 在51系列单片机上实现ECC数字签名 本研究在51系列单片机上实现了基于192-bit素域上的椭圆曲线密码体制的数字签名方案。51系列单片机是一种广泛使用的低成本微控制器，常用于各种嵌入式系统中。 **2.1 算法设计** 为了实现在51系列单片机上的ECC数字签名，首先需要完成以下核心步骤的设计与实现： 1. **大数模加运算**：这是椭圆曲线密码体制中的一项基础运算，用于处理大整数的加法操作。 2. **求逆运算**：在椭圆曲线密码体制中，尤其是在投射坐标系下的运算中，求逆是非常重要的一步。 3. **点加运算**：用于计算两个点的和。 4. **二倍点运算**：用于计算某一点的两倍。 **2.2 硬件平台与软件实现** - **硬件平台**：本研究选用的是51系列单片机作为硬件平台。这种单片机具有成本低廉、易于编程等特点，非常适合于资源受限的应用场景。 - **软件实现**：实现过程中，我们利用C语言编写了所有必要的算法模块，并针对51系列单片机的特点进行了优化，确保了算法的高效执行。 #### 结论 本研究详细介绍了如何在51系列单片机上实现基于椭圆曲线密码体制的数字签名算法。通过对椭圆曲线密码体制的基础运算的深入分析和在51系列单片机上的具体实现，不仅证明了该方案的有效性和可行性，同时也为未来在资源受限环境下的密码学应用提供了新的思路和技术支持。