Lie 群与Lie 代数简介

Lie 群和Lie 代数的理论是近代数学中的一个重要分支是挪威数学家M.S.Lie 1842-1899 在十九世纪后期创建的由于受Lagrange Abel Galois 等学者用群论方法 研究代数方程求解问题得到巨大成功的启发Lie 提出了用变换群的方法来研究微分方程的 求解问题及用无穷小变换来研究变换群的方法近代的Lie 群与Lie 代数理论就是在Lie 的 开创性工作的基础上发展起来的群变换群的概念起源于对几何图像对称性的研究虽 然历史悠久但未成为一种解决问题的系统方法这一情况到了十八世纪后期才发生了本质 的变化法国数学家J.Lagrange(1736-1813)在研究代数方程求解问题时认识到根的排列与 置换理论是解代数方程的关键所在开创了用置换群的理论来研究代数方程求解问题的新阶 段在此基础上挪威数学家N.H.Abel(1802-1829)与法国数学家E.Galois(1811-1832)发展 和应用了群论的方法彻底解决了代数方程用代数方法求解问题关于这方面的进一步介绍 有兴趣的学者可以参看附录1 用根的置换理论解二三次代数方程 与代数方程有关的置换群是有限群即由有限个元素构成的群对这种群的研究纯属 代数问题而Lie 引进的与微分方程有关的变换群则是由有限个连续参数所确定的变换所构 成的无限群这种确定群的元素的连续变化的参数可以看成广义的坐标所以Lie 研究的变 换群除了群的结构外还具有流形的结构其元素可以看成是流形上的点关于流形的概 念可参看李世雄. 波动方程的高频近似与辛几何. 第四章因而Lie 群是代数几何与分 析的有机结合其理论和方法对近代数学的许多分支有重要的影响和作用