近世代数课件（非常好的课件）

《近世代数》是数学领域中的一个重要分支，主要研究抽象代数结构的性质。本课件专注于介绍代数系统的基本概念，包括代数系统的定义、性质、同构和同态等核心概念。以下是对这些概念的详细阐述： 代数系统是由一个非空集合S和在其上定义的一系列运算组成的。在代数系统中，一个n元运算f将集合S中的n个元素映射回集合S。例如，自然数集N上的加法和乘法就是二元运算，因为它们分别将两个自然数映射到另一个自然数。但除法不是一个二元运算，因为它在某些情况下不封闭，比如0不能作为除数。 代数系统中的一个重要概念是同构。两个代数系统如果可以通过一一对应的方式保持运算性质不变，那么它们是同构的。这意味着它们在本质上具有相同的结构，只是表现形式不同。例如，整数集Z上的加法群与模m同余关系下的加法运算+_m在结构上是同构的，因为它们都满足交换律和结合律。 子群是代数系统中另一个重要的概念。在群的背景下，如果一个集合H包含在群G中，并且H自身也是一个群，那么H被称为G的子群。例如，所有偶数构成的集合是整数群Z的一个子群，因为它满足子群的两个条件：封闭性和群的性质（存在单位元和逆元）。 循环群是由单个元素生成的群，例如所有整数的倍数构成的群{...,-2,0,2,...}是由元素2生成的。置换群则是一组在一定集合上进行排列操作的元素构成的群，比如在集合{1,2,3,...,n}上的所有排列都可以构成一个置换群。 陪集和正规子群的概念涉及到群的进一步结构。正规子群是满足特定条件的子群，它的元素在群的自同态作用下保持不变。陪集则是将群G除以正规子群N后得到的等价类，这些等价类组成商群G/N，它同样具有群的结构。 同态和同构是代数系统之间的一种映射关系。同态保持了运算性质，而同构是双射的同态，意味着两个系统不仅运算性质相同，而且每个元素都有唯一的对应关系。在群论中，群的同态和同构是理解群之间关系的关键工具。 此外，环和域是更高级的代数结构。环包含了加法和乘法运算，而域除了满足环的性质外，还要保证乘法运算的可逆性（除零元外）。整数集Z和有理数集Q都是典型的域。 近世代数研究的代数系统是抽象数学的基础，它提供了描述和分析各种数学结构的通用框架。通过深入学习这些基本概念，我们可以更好地理解和应用代数方法解决数学和其它科学领域的问题。