有限差分法、有限元法、有限体积法等离散方法介绍

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§8.3 非结构网格上的有限体积法 前面主要对有限体积法基本概念和离散格式作了介绍。在这节中，我们将介绍二维非结 构网格上的有限体积法，以便于应用它来模拟自然中复杂区域内的流动及物质输运现象。本 节只对算法的空间离散进行讨论，因为时间的离散和有限差分法一致，因此，不在专门介绍。 8.3.1 基本方程 浅水方程和 N-S 方程是水动力学计算上常用的控制方程，另外作为物质输运的对流扩 散方程也是我们要面对的。为了统一起见，将方程写成为如下的向量形式的守恒型方程 SUF U =⋅∇+ ∂ ∂ )( t (8-71) 其中，U 为守恒量向量，F = [Fx, Fy]为通量向量，S 为源项向量 对二维浅水方程和物质输运方程的方程系统，有 ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = hc hv hu h U ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = i x huC huv gh hu hu 2 2 2 F ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = i y hvC gh hv huv hv 2 2 2 F ； ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅−+∇Σ − − = iCii j nii fyy fxx hCKASLhCD SSgh SSgh )( )( )( 0 0 0 S 其中，h 为水深，u、v 分别为 x 和 y 向的平均流，Fx为 x 向通量向量，Fy为 y 向通量向量， S 为源项向量， x z S bx ∂ ∂ −=0 ，为 x 向的水底底坡； y z S by ∂ ∂ −=0 ，为 y 向的水底底坡； 3 4 222 2 22 h vuun hC vuu S fx + = + = ρρ ，为 x 向的摩阻底坡； 3 4 222 2 22 h vuvn hC vuv S fy + = + = ρρ ，为 y 向的摩阻底坡 Ci为污染物（COD，NBOD，CBOD，NH3-N，DO 及水温）的垂线平均浓度，Dix、Diy 分别为 x 向和 y 向各污染物的扩散系数，KCi是各污染物综合降阶系数，Si 为各污染物源汇项。 N-S 方程求解时，更为普遍的是采用以下守恒型方程 φφφρ ρφ SDgrad t +⋅∇=⋅∇+ ∂ ∂ u (8-72) 其中，ρ 为流体密度；φ通用变量，如速度 u 等；D 为扩散系数； φS 为源项 23

二维方腔流动问题是一个不可压缩黏性流动中典型流动。虽然目前尚不能求得它的解析解，但是它常被用来作为检验各种数值算法计算精度和可靠性的算例。

这是本人大三参加测绘技能大赛训练所写的vb.net程序，供学习参考使用。