第二十章 偏微分方程的数值解
自然科学与工程技术中种种运动发展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。这些规
律的定量表述一般地呈现为关于含有未知函数及其导数的方程。我们将只含有未知多元
函数及其偏导数的方程，称之为偏微分方程。
方程中出现的未知函数偏导数的 高阶数称为偏微分方程的阶。如果方程中对于未
知函数和它的所有偏导数都是线性的，这样的方程称为线性偏微分方程，否则称它为非
线性偏微分方程。
初始条件和边界条件称为定解条件，未附加定解条件的偏微分方程称为泛定方程。
对于一个具体的问题，定解条件与泛定方程总是同时提出。定解条件与泛定方程作为一
个整体，称为定解问题。
§1 偏微分方程的定解问题
各种物理性质的定常（即不随时间变化）过程，都可用椭圆型方程来描述。其 典
型、 简单的形式是泊松(Poisson)方程
),(
2
2
2
2
yxf
y
u
x
u
u =
∂
∂
+
∂
∂
=Δ （1）
特别地，当 0),( ≡yxf 时，即为拉普拉斯(Laplace)方程，又称为调和方程
0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
=Δ
y
u
x
u
u （2）
带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布，不可压缩流体的稳定无旋流动及
静电场的电势等均满足这类方程。
Poisson 方程的第一边值问题为
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
Ω∂=Γ=
Ω∈=
∂
∂
+
∂
∂
Γ∈ ),(|),(
),(),(
),(
2
2
2
2
yxyxu
yxyxf
y
u
x
u
yx ϕ
（3）
其中Ω 为以 Γ 为边界的有界区域， Γ 为分段光滑曲线， ΓΩU 称为定解区域，
),(),,( yxyxf ϕ 分别为 ΓΩ, 上的已知连续函数。
第二类和第三类边界条件可统一表示成
),(),( yxun
u
yx ϕα =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∂
∂
Γ∈ （4）
其中 n 为边界Γ的外法线方向。当 0=α 时为第二类边界条件， 0≠α 时为第三类边界
条件。
在研究热传导过程，气体扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问
题时，常常会遇到抛物型方程。其 简单的形式为一维热传导方程
)0(02
2
>=
∂
∂
−
∂
∂
a
x
u
a
t
u
（5）
方程（5）可以有两种不同类型的定解问题：
初值问题（也称为 Cauchy 问题）
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