《偏微分方程与有限元方法》是数学与工程科学领域的重要著作，由Pavel Solin撰写，属于Wiley-Interscience系列丛书的一部分。该书详细介绍了如何运用有限元方法求解偏微分方程，为读者提供了一个深入浅出的学习路径。 ### 偏微分方程 偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是在多个自变量的函数及其偏导数之间建立关系的方程。它们在物理学、工程学、经济学等众多领域中都有广泛的应用，例如热传导方程、波动方程以及流体动力学方程等。PDEs的求解对于理解物理现象、预测系统行为至关重要。 ### 有限元方法 有限元方法（Finite Element Method，简称FEM）是一种数值解法，用于求解复杂的偏微分方程问题。它的基本思想是将连续问题离散化，即将一个复杂区域划分为许多小的单元（称为有限元），然后在这些单元上近似求解原始问题。这种方法能够处理具有复杂几何形状和边界的物理系统，是现代工程计算的重要工具之一。 ### 如何利用有限元求解偏微分方程 #### 1. 函数空间的构建 有限元方法首先涉及到的是函数空间的选取，即选择哪些函数来近似原问题的解。通常情况下，会选用多项式函数作为基函数，因为它们易于操作且能很好地逼近各种复杂函数。 #### 2. 离散化过程 接下来，需要对原始的连续问题进行离散化，将整个问题域划分为一系列的有限单元。每个单元内部的解可以用单元上的节点值来表示，而节点之间的插值则由选定的基函数决定。 #### 3. 弱形式的形成 为了得到适合数值求解的形式，原问题常常被转化为其弱形式。这意味着原方程被乘以一个测试函数并积分，从而得到了一个更易于处理的变分方程。通过在每个单元上应用这种转化，可以得到一组关于节点未知数的代数方程组。 #### 4. 求解代数方程组 最后一步是求解由此产生的代数方程组，这通常是通过迭代或直接求解技术完成的。一旦求得了节点值，就可以在整个问题域内重建解的近似值。 ### 应用实例 有限元方法在解决实际工程问题时表现出了强大的能力。例如，在结构力学中，它可以用来分析桥梁、建筑物等结构在不同载荷下的响应；在流体力学中，可以模拟空气流动或液体流动；在热传导问题中，可以预测热量分布等。 ### 结论 《偏微分方程与有限元方法》一书不仅深入浅出地讲解了有限元方法的基本原理，还提供了丰富的理论与实践指导，是学习和研究这一领域的宝贵资源。通过掌握有限元方法，工程师和科学家们能够更准确地建模和预测复杂的物理现象，推动科学技术的发展。

This book provides an introduction to the use of geometric partial differential equations in image processing and computer vision. It brings a number of new concepts into the field, providing a very fundamental and formal approach to image processing. State-of-the-art practical results in a large number of real problems are achieved with the techniques described. Applications covered include image segmentation, shape analysis, image enhancement, and tracking. The volume provides information for people investigating new solutions to image processing problems as well as for people searching for existent advanced solutions.

Numerical Methods for Partial Differential Equations Finite Difference and Finite Volume Methods

作者：Yehuda Pinchover and Jacob Rubinstein 斯坦福教材

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障碍物问题 在变分不等式和自由边界问题的数学研究中，障碍问题是一个经典的激励例子。 问题是找到弹性膜的平衡位置，该弹性膜的边界保持固定，并且被限制在给定的障碍物上方。 它与极小曲面的研究以及势论中集合的容量的研究密切相关。 应用包括研究多Kong介质中的流体过滤、约束加热、弹塑性、最优控制和金融数学。 请参阅。

PDE经典教材 学习偏微分方程必读课本

A. Tveito, R. Winther - Introduction to Partial Differential Equations - A Computational Approach

索末菲大作，热学、电磁学等领域可用。出版于上世纪中期

国立交通大学的偏微分方程课程用书，是非常经典的fritz john 的书