2．3机械臂动力学控制方法 2．3．1确定性机械臂动力学控制方法 机械臂的动力学控制问题的主要研究内容为设计合适的控制器，控制各关节的驱动力矩， 驱动机械臂在期望的轨迹上运动，使各关节的位移、速度、加速度跟踪上相应的期望值。确 定性机械臂是指不受外扰、建模精确的机械臂，这类机械臂在工程实践中极少，是理想化的 机械臂，一般的机械臂都会带有不确定性，但对确定性机械臂的控制是研究一般机械臂的控 制方法的基础。对确定性机械臂研究得足够透彻才能更好地研究不确定性机械臂。作为一个 应用广泛的机械系统，机械臂的控制方法有很多种。常用的方法包括以下这几种。 PD控制‘6，7，27]：工程实践上PID控制是应用最广泛的一种控制方法，机械臂的控制中常 常使用到PD控制器。PD控制器结构简单、算法容易实现。对具有精确模型的系统控制具有 非常好的控制品质。对于系统结构、参数没有精确建模的系统，可以通过现场调试来确定控 制器参数，提供良好的品质，并且调试方法简单直观。对于具有时变的不确定性系统，PD控 制器的效果不太理想，对系统运行中出现的变化适应能力不强。 Backstepping控制‘17，2邑291：Backstepping控制的思想是把复杂的系统分解为不超过系统阶 数的多个简单的子系统，为每个子系统设计李雅普诺夫函数和虚拟控制量，逐个子系统反推， 直到最后一个子系统时完成控制器的设计。这是对复杂系统的～种简化处理方法。 Backstepping控制的每步反推中设计的李雅普诺夫函数都需要求导，而且后一个子系统的李 雅普诺夫函数会包含前一个子系统的李雅普诺夫函数，因而多次反推后会出现很多代数项， 计算量会随着系统阶数的增加而快速增加。 其他基于模型的控制：当可以获取精确模型时，系统的动态特性可以由动力学方程来描 述。可以采用基于数学模型的控制方法，如补偿控制、最优控制、非线性反馈控制等。但这 类方法只适合于理想化的确定性机械臂，难以应用到带不确定性的一般机械臂上。 这些方法往往应用于对理想模型的研究，在面对具有不确定性的实际机械臂系统时，控 制品质难以得到保证。但是这些基本的控制方法，可以作为不确定性机械臂研究的基础。通 过引入自适应、鲁棒控制等思想，这些方法可以扩展到不确定性机械臂的应用上。 2．3．2不确定性机械臂动力学控制方法 在实际的工程应用中，影响机械系统工作的因素非常多，要考虑所有因素而获取机械臂 的精确数学模型是不可能的。在建模时必须做出一定的假设，忽略一些影响较小的、难以建 模的因素，才能建立出在一定精度范围内能描述实际系统的近似模型。实际应用中的机械臂 都是带有不确定性的。这些不确定性包括一些参数的不确定性，如连杆的质量、长度、质心 之类的物理量难以精确测量，只能部分已知或未知，也包括一些非参数的因素，如高频未建 模动态、摩擦力等。另外机械臂也不可避免地受到外部扰动的影响，更由于机械臂负载的不 确定性，导致机械臂系统具有较强的不确定性。结构或参数的不确定性和外部扰动会使控制 效果受到不同程度的影响，严重时会导致机械臂系统不稳定。因此，对机械臂控制方法的研 12

Numerous control and decision problems in networked systems can be posed as optimization problems. Examples include the framework of network utility maxi-mization for resource allocation in communication networks, multi-agent coordina-tion in robotics, and collaborative estimation in wireless sensor networks (WSNs). In contrast to classical distributed optimization, which focuses on improving compu-tational efficiency and scalability, these new applications require simple mechanisms that can operate under limited communication. In this thesis, we develop several novel mechanisms for distributed optimization under communication constraints, and apply these to several challenging engineering problems

Minghui Zhu和Sonia Martínez关于多智能体系统分布式优化方面的经典教材。

异构网络中的联合优化 该存储库包含本文的代码和实验： 联合学习是一种分布式学习范例，它具有两个与传统的分布式优化不同的关键挑战：（1）网络中每个设备的系统特性方面的显着可变性（系统异质性），以及（2）不完全相同的分布式数据跨网络（统计异质性）。 在这项工作中，我们引入一个框架FedProx，从理论上和经验上解决联邦网络中的异构性。 该存储库包含一组针对联合数据集的详细的经验评估。 我们证明FedProx比FedAvg具有更强大的收敛性。 特别是，在高度异构的环境中，FedProx展示了相对于FedAvg而言更加稳定和准确的收敛行为-将绝对测试准确度平均提高了22％。 一般准则 请注意，如果您想使用FedProx作为基准并运行我们的代码： 如果使用不同的数据集，则至少需要根据您的指标调整学习率和mu参数。 您可能希望从{0.001，0.01，0.1，0.5，1}调整mu。 没有适用于所有

3．4．2控制律初始值的确定 在上一节中，实际控制律是对虚拟控制律的积分，实际控制信号的值跟初始值f(0)密切 相关，由于积分有类似于“延时"的作用，选择不合理的初始值，会导致实际控制信号到达 所需控制信号的时间过长，表现为初始一段时间内的响应比较慢。因此，选择合适的初始控 制信号f(O)，是必须考虑的。 考虑到经典滑模控制理论中，SISO系统有限时间到达滑模面的充分条件是切换函数及其 导数的积小于零，直观理解是当切换函数为正时，导数为负，切换函数减小，向零点运动， 当切换函数为负时，导数为正，切换函数增大，也向零点运动，最终切换函数收敛到零点。 因此，考虑初始控制量t(O)满足条件岛【工(f)】毫【石(f)】 (3．47) 考虑满足墨【戈(o)】j。[x(o)】0，则‘(o)<一M。。(g)白4工(o)]，如果 s。[石(o)】一M。。(g)毛4x(o)】。因此，■(o)的选择可以归纳为 f。(o)=一sign(sl[x(o)】){^正l(9)I毛么【x(o)]l+s) (3．48) 这里￡为任意小的正常数。 对于％(o)，可以用同样的方法获得。综合起来，初始控制量r(0)选取为 t(o)=一s堙竹(墨[x(o)】){』‰(g)l忽彳【z(o)】I+占> (3．49) 这样的选择可以使系统具有较快的响应速度。 3．4．3虚拟控制律的选择 在3．3．2节中介绍了文献[46][51]所使用的虚拟控制律为 r 1 1 q(f)一q％sign 1 YU(f)一号yliM} (3．50) 切换函数中符号函数的参数比较复杂，是对于无法知道Y2(t)的信息时做的一种选择。而 在常规的滑模控制中，使用最多的，是以切换函数s【x(f)】作为符号函数参数的切换控制律， 这种控制律已经比较成熟，也比较直观。在3．3．1节中提到的“扭转算法"(twisting algorithm) 采用的虚拟控制律

电子书Distributed Optimization and Statistical Learning via the Alternating Direction Method of Multipliers，包含了拉格朗日乘子法等多种最优化算法，描述清晰，是国外一些论文的参考文献之一

Distributed Optimization for Continuous-Time Multi-Agent Systems with External Disturbance and Discrete-Time Communication