[y, d] = sphPlm_deriv(lmax, x) 计算归一化的关联勒让德多项式\sqrt{(2l+1)/(4\pi)} \sqrt{(lm)!/(l+m)!} P_l^m(x) 及其导数，适用于球谐函数，对于 l=0,...,lmax 和 m=0,...,l。 在 x 中向量化，返回矩阵在 y(:, l+1,m+1) 处缩放 P_l^m(x) 并在 d(:, l+1,m+1) 处缩放 d/dx P_l^m(x) ）。 基于以下递归公式： WH 出版社，《数字食谱》第 3 版，p。 292 T. Limpanuparb, J. Milthorpe, arXiv:1410.1748v1 [physics.chem-ph] 使用在 Gnu Scientific Library 中找到的实现 gsl_sf_legendre_sphPlm_deriv_array 作为模板。

派生 象征差异 该软件的原始版本由Andrew Clausen（位于econ.upenn.edu的clausen）于2007年用R编写。 Mark Reid（anu.edu.au上的mark.reid）发送了补丁，并于2009年2月2日发布。 2014年，安德鲁已将维护工作交给了Serguei Sokol（sokol，位于insa-toulouse.fr）。 从那时起，该软件就进行了深刻的重写和完善。 主要的新功能包括： 新的派生引擎，允许使用简单的语法来区分规则； 规则表中添加了许多新功能； 用户可以添加自定义区分规则； 具有多个分配运算符的代码的自动微分（AD）； 当采用函数的派生时，Deriv（）也返回一个函数。 可以使用与原始函数相同的参数来调用后者。 可以通过存储在向量或列表中的变量来区分，例如param$theta或x[1] ， x[2]等。 简化扩展到有理

Preface page xi Acknowledgments xiii Abbreviations xv Nomenclature xvii 1 Introduction 1 1.1 Introduction to the Book 1 1.2 Motivation for the Book 2 1.3 Brief Literature Summary 3 1.4 Brief Outline 5 2 Background Material 6 2.1 Introduction 6 2.2 Notation and Classification of Complex Variables and Functions 6 2.2.1 Complex-Valued Variables 7 2.2.2 Complex-Valued Functions 7 2.3 Analytic versus Non-Analytic Functions 8 2.4 Matrix-Related Definitions 12 2.5 Useful Manipulation Formulas 20 2.5.1 Moore-Penrose Inverse 23 2.5.2 Trace Operator 24 2.5.3 Kronecker and Hadamard Products 25 2.5.4 Complex Quadratic Forms 29 2.5.5 Results for Finding Generalized Matrix Derivatives 31 2.6 Exercises 38 3 Theory of Complex-Valued Matrix Derivatives 43 3.1 Introduction 43 3.2 Complex Differentials 44 3.2.1 Procedure for Finding Complex Differentials 46 3.2.2 Basic Complex Differential Properties 46 3.2.3 Results Used to Identify First- and Second-Order Derivatives 53 viii Contents 3.3 Derivative with Respect to Complex Matrices 55 3.3.1 Procedure for Finding Complex-Valued Matrix Derivatives 59 3.4 Fundamental Results on Complex-Valued Matrix Derivatives 60 3.4.1 Chain Rule 60 3.4.2 Scalar Real-Valued Functions 61 3.4.3 One Independent Input Matrix Variable 64 3.5 Exercises 65 4 Development of Complex-Valued Derivative Formulas 70 4.1 Introduction 70 4.2 Complex-Valued Derivatives of Scalar Functions 70 4.2.1 Complex-Valued Derivatives of f (z, z∗) 70 4.2.2 Complex-Valued Derivatives of f (z, z∗) 74 4.2.3 Complex-Valued Derivatives of f (Z, Z∗) 76 4.3 Complex-Valued Derivatives of Vector Functions 82 4.3.1 Complex-Valued Derivatives of f (z, z∗) 82 4.3.2 Complex-Valued Derivatives of f (z, z∗) 82 4.3.3 Complex-Valued Derivatives of f (Z, Z∗) 82 4.4 Complex-Valued Derivatives of Matrix Functions 84 4.4.1 Complex-Valued Derivatives of F(z, z∗) 84 4.4.2 Complex-Valued Derivatives of F(z, z∗) 85 4.4.3 Complex-Valued Derivatives of F(Z, Z∗) 86 4.5 Exercises 91 5 Complex Hessian Matric