K . N . K I NG's C Programming A Modern Approach_2nd

2.2 Cokriging模型 Cokriging 模型是上个世纪 70 年代发展起来 的一种更有效的地质统计学插值模型 [91]-[95] 。在 地质统计学领域，为了提高对某个抽样比较困难 的量的预测精度，提出了采用更容易抽样的量进 行辅助预测的 kriging 模型，称为 cokriging 模型 [92] 。2000 年，Kennedy 和 O’Hagan[96]首次将 cokriging 模型推广应用于工程科学领域，发展了 一种采用低可信度计算机程序结果，来辅助预测 高可信度计算机程序结果的 cokriging 方法。目前 国际上对 cokriging 模型的研究主要集中在地质统 计学和数学统计学等领域，在航空航天等工程科 学领域的研究也逐渐得到重视 [14][97]-[101] 。 2010 年，文献[101]独立提出了一种可用于 建立变可信度代理模型的实用 cokriging 模型（也 参见[14]）。下面对该模型进行介绍。 对于一个具有 m 个设计变量的优化问题， 在设计空间中同时采用高可信度分析（例如 NS 方程或密网格数值模拟）和低可信度分析（例如 Euler 方程或疏网格数值模拟）进行抽样，并建 立所谓的变可信度代理模型。更多建立变可信度 模型的方法请参见文献[88]。变可信度代理模型 在达到相同近似精度的条件下，可显著提高建立 代理模型的效率。 假设高、低可信度分析程序的抽样位置如下 1 1 2 2 ( )(1) T 1 1 1 ( )(1) T 2 2 2 ( ,..., ) ( ,..., )       S x x S x x   n n m n n m (40) 下标“1”和“2”分别代表高、低可信度，例如 1n 和 2n 分别代表高、低可信度样本点数（假设 2 1n n ）。相应的目标函数或约束函数的响应值 如下 1 1 2 2 ( )(1) T 1 1 1 ( )(1) T 2 2 2 [ ,..., ] , [ ,..., ] .     y y   n n n n y y y y (41) Cokriging 模型预估值定义如下 T T T 1 1 1 2 2ˆ ( )   x λ y λ y λ ySy , (42) 其中 1 2,λ λ 分别为对高、低可信度响应值的加权 系数。假设存在分别与 ,y y1 2 分别对应的 2 个 静态随机过程， ( ) ( ), ( ) ( ).       x x x x Y Z Y Z 1 1 1 2 2 2 (43) 则设计空间不同位置处，随机变量之间的协方差 和交叉协方差定义为 ( ) ( ) ( ) ( )2 (11) 11 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )2 (22) 22 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )(12) 1 21 2 1 2 ( ( ), ( )) ( , ) ( ( ), ( )) ( , ) ( ( ), ( )) ( , )        x x x x x x x x x x x x i j i j i j i j i j i j Cov Z Z R Cov Z Z R Cov Z Z R (44) 其中， 21 和 2 2 分别为随机过程 ( )xY1 和 ( )xY2 的过程方差。采用与 kriging 模型类似的推 导方法，可得到 cokriging 模型的预估值如下（具 体推导过程见文献[14]） T T 1 1 Sˆ ( ) ( ) ( )   x φ β r x R y Fβy ， (45) 其中 1 2 1T 1 1 T 11 S 22 1(11) (12) ( ) 2 S 1(21) (22) 2 2 ( )1 , ( ) , , ( )0 , , ,                                                r x φ β F R F F R y r r x y R R 1 0 R y F y 0 1R R      n n (46) 且有

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