2.2 Cokriging模型
Cokriging 模型是上个世纪 70 年代发展起来
的一种更有效的地质统计学插值模型
[91]-[95]
。在
地质统计学领域,为了提高对某个抽样比较困难
的量的预测精度,提出了采用更容易抽样的量进
行辅助预测的 kriging 模型,称为 cokriging 模型
[92]
。2000 年,Kennedy 和 O’Hagan[96]首次将
cokriging 模型推广应用于工程科学领域,发展了
一种采用低可信度计算机程序结果,来辅助预测
高可信度计算机程序结果的 cokriging 方法。目前
国际上对 cokriging 模型的研究主要集中在地质统
计学和数学统计学等领域,在航空航天等工程科
学领域的研究也逐渐得到重视
[14][97]-[101]
。
2010 年,文献[101]独立提出了一种可用于
建立变可信度代理模型的实用 cokriging 模型(也
参见[14])。下面对该模型进行介绍。
对于一个具有 m 个设计变量的优化问题,
在设计空间中同时采用高可信度分析(例如 NS
方程或密网格数值模拟)和低可信度分析(例如
Euler 方程或疏网格数值模拟)进行抽样,并建
立所谓的变可信度代理模型。更多建立变可信度
模型的方法请参见文献[88]。变可信度代理模型
在达到相同近似精度的条件下,可显著提高建立
代理模型的效率。
假设高、低可信度分析程序的抽样位置如下
1 1
2 2
( )(1) T
1 1 1
( )(1) T
2 2 2
( ,..., )
( ,..., )
S x x
S x x
n n m
n n m
(40)
下标“1”和“2”分别代表高、低可信度,例如
1n 和 2n 分别代表高、低可信度样本点数(假设
2 1n n )。相应的目标函数或约束函数的响应值
如下
1 1
2 2
( )(1) T
1 1 1
( )(1) T
2 2 2
[ ,..., ] ,
[ ,..., ] .
y
y
n n
n n
y y
y y
(41)
Cokriging 模型预估值定义如下
T T T
1 1 1 2 2ˆ ( ) x λ y λ y λ ySy , (42)
其中 1 2,λ λ 分别为对高、低可信度响应值的加权
系数。假设存在分别与 ,y y1 2 分别对应的 2 个
静态随机过程,
( ) ( ),
( ) ( ).
x x
x x
Y Z
Y Z
1 1 1
2 2 2
(43)
则设计空间不同位置处,随机变量之间的协方差
和交叉协方差定义为
( ) ( ) ( ) ( )2 (11)
11 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )2 (22)
22 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )(12)
1 21 2 1 2
( ( ), ( )) ( , )
( ( ), ( )) ( , )
( ( ), ( )) ( , )
x x x x
x x x x
x x x x
i j i j
i j i j
i j i j
Cov Z Z R
Cov Z Z R
Cov Z Z R
(44)
其中, 21 和
2
2 分别为随机过程 ( )xY1 和
( )xY2 的过程方差。采用与 kriging 模型类似的推
导方法,可得到 cokriging 模型的预估值如下(具
体推导过程见文献[14])
T T 1
1 Sˆ ( ) ( ) ( )
x φ β r x R y Fβy , (45)
其中
1 2
1T 1 1 T 11
S
22
1(11) (12)
( ) 2
S 1(21) (22)
2
2
( )1
, ( ) , ,
( )0
, , ,
r x
φ β F R F F R y r
r x
y
R R 1 0
R y F
y 0 1R R
n n
(46)
且有
1