二、模型参考自适应控制 所谓模型参考自适应控制 ,就是在系统中设置一个动态品质优良的参考模型 ,在系统运行 过程中 ,要求被控对象的动态特性与参考模型的动态特性一致 , 例如要求状态一致或输出一 致。典型的模型参考自适应系统如图 1. 2 2 所示。 自适应控制的作用是使控制对象的状态 Xp 与理想的参考模型的状态 Xm 一致。当被控对 象的参数变化或受干扰影响时 , Xp 与 X m 可能不一致 ,通过比较器得到误差向量 e,将 e输入到 自适应机构。自适应机构按照某一自适应规律调整前馈调节器和反馈调节器的参数 ,改变被控 对象的状态 Xp ,使 Xp 与 X m 相一致 ,误差 e趋近于零值 ,以达到自适应的要求。 在图 1. 2 2 所示的模型参考自适应控制方案中参考模型和被控对象是并联的 ,因此这种 方案称为并联模型参考自适应系统。在这种自适应控制方案中 ,由于被控对象的性能可与参考 模型的性能进行直接比较 ,因而自适应速度比较快 ,也较容易实现。这是一种应用范围较广的 方案。控制对象的参数一般是不能调整的 ,为了改变控制对象的动态特性 ,只有调节前馈调节 器和反馈调节器的参数。控制对象和前馈调节器及反馈调节器一起组成一个可调整的系统 ,称 之为可调系统 ,如图 1. 2 2中虚线所框的部分。有时为了方便起见就用可调系统方框来表示被 控对象和前馈调节器及反馈调节器的组合。 图 1. 2 2 模型参考自适应系统 除了并联模型参考自适应控制之外 ,还有串联模型参考自适应控制和串并联模型参考自 适应控制。在自适应控制中一般都采用并联模型参考自适应控制。 上面按结构形式对模型参考自适应控制系统进行分类 ,还有其他的分类方法。例如按自适 —2—

二、离散模型参考自适应控制 控制对象的离散方程为 A( q - 1 ) y( t) = q - d B ( q - 1 ) u( t) ( 3 .4 21) 式中 A ( q - 1 ) = 1 + a1 q - 1 + … + anq - n ( 3 .4 22) B ( q - 1 ) = b0 + b1 q - 1 + … + bmq - m ( 3 .4 23) 参考模型的离散方程为 E ( q - 1 ) ym ( t) = q - d g H ( q - 1 ) r( t) ( 3 .4 24) 式中 E( q - 1 ) = 1 + e1 q - 1 + … + el q - l ( 3 .4 25) H ( q - 1 ) = 1 + h1 q - 1 + … + hl q - l ( 3 .4 26) E( q - 1 ) 稳定。设 G( q - 1 ) = q - d g H ( q - 1 ) E( q - 1 ) 要求控制对象的输出 y( t) 跟踪参考模型的输出 ym ( t)。系统如图 3 .4 1 所示。 先将式 (3 .4 21) 变换成下列预测形式 E( q - 1 ) y( t + d) = α( q - 1 ) y ( t) +β( q - 1 ) u( t) ( 3 .4 27) —27—

一、用状态变量设计模型参考自适应控制律 设模型的状态方程为 �Xm = Am Xm + Bm r (3 .3 1) 式中 Xm 为 n维状态向量 , r为 m 维输入向量 , Am 为 n× n稳定矩阵 , Bm 为 n× m矩阵。 控制对象的状态方程为 �Xp = Ap ( t) Xp + Bp ( t) u (3 .3 2) 图 3. 3 1 模型参考自适应控制图 式中 Xp 为 n维状态向量 , u为 m维控制向 量 , Ap ( t) 为 n× n 矩阵 , Bp ( t) 为 n× m 矩阵。 一般自适应控制系统采用如图3 .3 1 所示的前馈控制加反馈控制。 从图 3 .3 1 可得 u = K( t) r + F( t) Xp (3 .3 3) 将式 (3 .3 3 ) 代入式 ( 3 .3 2) 得 �Xp = [ Ap ( t) + Bp ( t) F( t) ] Xp + Bp ( t) K( t) r (3 .3 4) 设 Ap ( t) + Bp ( t) F( t) = As ( t) Bp ( t) K( t) = Bs ( t) (3 .3 5) 图 3. 3 2 用状态方程描述的模型参考自适应系统 因 F( t) 与 K( t) 都是误差 e的函数。因此 As ( t) 和 Bs ( t)也与误差 e有关 ,则 As ( t) 和 Bs ( t) 可表示成 As ( t) = As ( e, t) , Bs ( t) = Bs ( e, t) (3 .3 6) 则式 (3 .3 4 ) 可表示成 �Xp = As ( e, t) Xp + Bs ( e, t) r 在上式中 Xp 用 Xs 表示 ,则 �Xs = As ( e, t) Xs + Bs ( e, t) r (3 .3 7) 式 (3 .3 7 ) 为可调系统 , Xs 就是可调系统 的状态向量。As ( e, t) 和 Bs ( e, t) 按照自适 应规律进行调整。系统如图 3 .3 2 所示。 按照超稳定性理论设计模型参考自适 应系统的步骤如下 : —85—

三、李雅普诺夫稳定性理论的应用 李雅普诺夫稳定性理论在系统稳定性分析和系统设计中得到较多的应用。下面讨论李雅 普诺夫第二方法在线性系统稳定性分析中的应用。 设系统的状态方程为 �X = AX ( 2 .1 15) 式中 X为 n维状态向量 ; A为 n× n维常数矩阵。选下列二次型函数为可能的李雅普诺夫函数 V ( X) = X T PX ( 2 .1 16) 式中 P为 n× n对称正定矩阵 ,求 V 对时间 t的导数 �V = dV d t = �X T PX + X T P�X = ( AX ) T PX + X T PAX = X T ( A T P + PA ) X ( 2 .1 17) 由于 V ( X ) 取正定 ,如果要使系统渐近稳定 ,必须使�V ( X ) 为负定 ,即要求 �V = - X T QX ( 2 .1 18) 式中 - Q = A T P + PA ( 2 .1 19) 因此使一个线性系统稳定的充分条件是 Q必须为正定。可先选取一个正定 Q阵 , 然后用式 (2 .1 18) 求解 P,再根据 P是否正定来判定系统的渐近稳定性。这比选一个正定的 P,再检查 Q阵是否也是正定要方便得多。P为正定是一个必要条件。为方便计 , Q阵常取为单位阵 I ,此时 P的元素可按下式确定 A T P + PA = - I ( 2 .1 20) 例 2 .1 1 设系统状态方程为 �X = AX 式中 —9—

二、李雅普诺夫稳定性定理 李雅普诺夫第二方法又称李雅普诺夫直接法 ,应用这一方法可在不解微分方程的条件下 确定系统的稳定性 ,因此这一方法有很大的优越性。 对于由式 (2. 1 1 ) 描述的系统 �X = f ( X, t) (2 .1 1) 如果 f (0 , t) = 0 (2 .1 6) 则系统可能的平衡状态 Xe = 0 ,即为坐标原点 0。 为了分析系统的稳定性 ,李雅普诺夫引出一个虚构的能量函数 ,称为李雅普诺夫函数。分 析这一函数的性质 ,就可解析地分析系统的稳定性。下面讨论李雅普诺夫函数和李雅普诺夫稳 定性定理及其应用。 (一 ) 李雅普诺夫函数 图 2. 1 3 质量 阻尼器 弹簧系统 对于一个机械振动系统 ,如果系统的总能量随 着时间 t的增长而连续地减少 ,直到平衡状态为止 , 则系统是稳定的。在这种情况下 ,系统的总能量对时 间的导数是负的。为了说明问题 , 先举一个质量 阻 尼器 弹簧的机械系统例子 ,如图2 .1 3 所示。 系统的自由运动方程为 m̈y + f�y + ky = 0 (2 .1 7) 式中 m为物体的质量 ; y为物体的位移 ; f 为阻尼系 数 ; k为弹簧刚度。取状态变量为 x1 = y , x2 = �y ,则 可得系统状态方程 �X = 0 1 - k m - 1 f X (2 .1 8) 式中 X = [ x1 x2 ] T 。设系统静止时 y = 0 和�y = 0 ,即 x1 = 0 和 x2 = 0 , Xe = [ 0 0 ] T 为系 统静止状态或平衡状态。 系统含有两个贮能元件 :质量和弹簧。因此 ,系统的总能量等于贮存在质量中的动能和贮 存在弹簧中的势能之和 ,即 V ( X, t) = 1 2 mx 2 2 + 1 2 kx 2 1 (2 .1 9) 总能量 V ( X, t) 恒为正 ,即当 X≠ 0时 , V ( X, t) > 0。当 X = 0时 , V ( 0) = 0。V ( X , t) 称为李雅 普诺夫函数。 求 V ( X, t) 对时间 t的导数 dV d t = �V �x 1 �x1 + �V �x 2 �x2 = kx1�x 2 1 + mx2�x2 ( 2 .1 10) 由式 (2 .1 8 ) 可得 —7—

【内容简介】木书主要介绍自适应控制的基木原理及应用。全书共分10窣，主要为绪论、自适应控制系统的理论莪 础、模型参考自适应控制、自校正控制、变结构控制、混合自适应控制、对象具冇未逑模动态时的混合自适应控制、非线性控 制对象的Q适应控制、模糊Q适应控制和tl适应控制的应用。 本书可作为高等学校自动控制类专业研究生教材，也可供本科高年级学生和工程技术人员参考。