### 道路改造项目中碎石运输的设计
#### 一、问题背景及目标
本研究针对平原地区的一项道路改造项目进行分析。该项目的目标是在A、B两点之间建设一条长200公里、宽15米、平均铺设厚度为0.5米的直线形公路。为了完成这项任务,需要从S1、S2两个采石点运输碎石,并将这些碎石铺设在这条新公路上。碎石成本为每立方米60元。
#### 二、问题重难点分析
- **关键因素**:
- 碎石的成本和运输成本。
- 临时道路的建设成本。
- 水路运输的可能性及其成本。
- 临时码头的建设需求及成本。
- **核心问题**:
- 如何规划临时道路和码头,以最小化总成本?
- S1和S2两处分别应该提供多少碎石?
- 总体预算控制在最低限度。
#### 三、问题解决方案
##### 1. 建立直角坐标系以确定相对位置
- **关键点坐标**:
- A(0,100): 起始点。
- B(200,100): 终止点。
- S1(20,120): 第一采石点。
- S2(180,157): 第二采石点。
- m4(50,100): 河流与AB线的交点。
- **河流流向**:
- 上游:m1→m4, 抛物线方程:f(x) = -1/8y^2 + 25y - 1200。
- 下游:m4→m7, 抛物线方程:f2(x) = 3/50y^2 - 12y + 650。
##### 2. 临时道路与码头建设
- **最优路径分析**:
- 通过MATLAB计算,确定了S1到第一段水路的最短距离,即点m(x,y)的坐标为(18.9,115.76)。
- 计算得到L1(S1到m的距离)约为4.76公里,L2(m到m4的弧长)约为37.6公里。
- **选择E点**:
- 在AB道路上选取一点E,使得从S1经过m→m4→E运输碎石的总费用等于S2到E运输碎石的总费用。
- E点的选择直接影响到临时道路的长度,从而影响整体成本。
##### 3. 碎石运输量的分配
- **碎石运输量计算**:
- 从S1运输的碎石量为945000立方米,从S2运输的碎石量为587000立方米。
- 这样的分配方式确保了总费用最低,约为17.32亿元。
#### 四、数学模型构建
##### 1. 模型假设
- 单向铺设道路,且能立即投入使用。
- 不考虑天气等因素导致的额外成本。
- 忽略车辆运输途中的其他费用。
##### 2. 字符说明
- mi(x,y): 河流上的点坐标。
- m(x,y): 河流到S1最短距离的点坐标。
- L1: 点S1到点m(x,y)的距离。
- L2: 弧mm4的弧长。
- w: m4到E的距离。
- c: 铺设整条路的总费用。
##### 3. 模型求解过程
- 通过建立数学模型,确定了最优的碎石运输方案。
- 使用MATLAB进行数据处理和求解,得到了最优解。
- 最终确定了从S1和S2两处分别运输的碎石量,以及临时道路和码头的具体布局。
#### 五、结论
通过对道路改造项目中碎石运输的设计进行详细分析,本研究成功地解决了如何最小化总体成本的问题。通过合理的路径规划和碎石运输量分配,不仅确保了工程能够顺利完成,而且有效地控制了成本,达到了预期的效果。这一研究成果对于类似的工程项目具有重要的参考价值。
2025-05-27 11:20:32
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